Die Fluchtgeschwindigkeit

Vorbereitung (Stunde 7 und 8 von 8):

04_euw_ppt_die_zweite_kosmische_geschwindigkeit.pptx

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Unterrichtsablauf (Stunde 7 und 8 von 8):

Für interplanetare Missionen, also Flüge zu anderen Planeten oder Objekten in unserem Sonnensystem, muss man das Gravitationsfeld der Erde verlassen, um sich vom Gravitationsfeld der Sonne den Weg weisen zu lassen: Ein Brennpunkt der Hohmann-Bahn ist dann die Sonne und nicht mehr die Erde oder der Mond.

Zu jedem Körper gehört eine Fluchtgeschwindigkeit, mit der man aus seinem Gravitationsfeld entkommt. Die zur Erde gehörige heißt „2. kosmische Geschwindigkeit“. Möchte man von der Erde aus das Sonnensystem verlassen, benötigt man die 3. kosmische Geschwindigkeit (16,67 km/s). Sie ist nicht Gegenstand des Unterrichts und sollte auch nicht mit der Fluchtgeschwindigkeit von der Sonne (hierzu kommen wir noch) verwechselt werden.

Mit der Präsentation 04_euw_ppt_die_zweite_kosmische_geschwindigkeit kann die 2. kosmische Geschwindigkeit erarbeitet werden.
Mit der kinetischen Energie eines Körpers, kann in einem Gravitationsfeld eine bestimmte Höhe erreicht werden. Mit zunehmender Höhe nimmt im radialen Gravitationsfeld die Gravitationskraft mit dem Quadrat der Entfernung ab.

Wenn man dies berücksichtigt, erhält man die kleinste Geschwindigkeit die ein Raumschiff benötigt, um das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen.

Die Rechnung kann ab E_kin ≥ E_pot (Folie 11) wieder von den Schülern übernommen werden.

Möglicher Tafelanschrieb:

Mit dem Arbeitsblatt 07_euw_ab_spezifische_geschwindigkeiten_des_erdmonds können die Schüler die Kreisbahngeschwindigkeit und Fluchtgeschwindigkeit für die Apollo-Missionen bezüglich des Erdmonds berechnen: Hierbei sieht man die großen Unterschiede im Vergleich zum Abflug von der Erde:

Die Kreisbahngeschwindigkeit v_K und die Fluchtgeschwindigkeit v_F des Erdmonds betragen nur etwa 20% der der Erde (es unterscheidet sie untereinander jeweils nur der Faktor $\sqrt{2}$).

Vergleicht man die Masse der Aufstiegsstufe des Lunar Modules von 4,8 t mit den 2900 t der Saturn V, kann man sich auch grundsätzlich klarmachen, dass ein relativ kleines Triebwerk mit 15,6 kN Schub genügte, um die Aufstiegsstufe in den Mondorbit zu bringen.

Falls irgendwelche Verschwörungstheoretiker anwesend sein sollten: Diesbezüglich sei auch angemerkt, dass sogar meine Zeichnung auf dem Arbeitsblatt der Aufstiegsstufe falsch ist: Der Abgasstrahl war nicht sichtbar. Letzteres beflügelt ebenfalls Verschwörungstheoretiker. Der Treibstoff Hydrazin (N₂H₄) und Dimethylhydrazin mit dem Oxidator Distickstoff-Tetroxid (N₂O₄) verbrennt nun mal in einer nicht sichtbaren Flamme, insbesondere, wenn keine Atmosphäre da ist. Da war also kein Kran im Filmstudio, der die Fähre wegbewegte. Auf dem Arbeitsblatt sah das aber ohne Antriebsstrahl leer aus und es war nicht klar, was die Aufstiegsstufe gerade macht, deshalb ist er da, obwohl er da nicht hingehört 😀 - es ist auch kein Astronaut zurückgelassen worden, um diese Szene zu filmen, da gab es schon früher geeignetere Methoden - und bitte komm‘ mir jetzt niemand mit der wehenden Fahne…

Für die Fluchtgeschwindigkeit v_F von einem Körper der Masse M mit Radius R gilt allgemein:

$v_F=\sqrt{\mathrm{<em>2</em>}·G·\frac{M}{R}}$

Da die Fluchtgeschwindigkeit also vom Verhältnis der Masse des Zentralkörpers und der „Abflugshöhe“ R auf der Oberfläche abhängt, ergeben sich interessante Werte für diverse Objekte (08_euw_ab_fluchtgeschwindigkeiten):

Beim Planeten Mars ist der Wert erwartungsgemäß kleiner als auf der Erde, die Sonne hat mit ihrer rund 1000-fachen Jupitermasse, aber nur 10-fachem Jupiterradius eine 10-fach größere Fluchtgeschwindigkeit als Jupiter. Diese Mindestgeschwindigkeit (617,3 km/s = 2,2 Mio. km/h) haben alle Teilchen an der Sonnenoberfläche, die sie mit dem Sonnenwind verlassen (Elektronen, Protonen, He-Kerne,…). Das ist harte Strahlung, die nach spätestens drei Tagen die Erde erreicht. Diese Vorlaufzeit wird auch gebraucht, um bei heftigen Sonnenausbrüchen Satelliten rechtzeitig abzuschalten, die ISS so zu drehen, dass die Astronauten besser geschützt sind, etc. (Anmerkung 1: Das Magnetfeld der Erde fängt viel ab, aber eben nicht alles. Anmerkung 2: Hier geht es nicht um Licht und somit auch nicht um hochenergetische Photonen (z.B. γ-Strahlung), die nur 8 Minuten für diese Strecke benötigen!

Beim Riesenstern VY Canis Majoris, der uns bereits in IMP Klasse 9 begegnet ist (vgl. Unterrichtsgang Erde und Weltall IMP 9, S. 4), beträgt die Fluchtgeschwindigkeit, trotz seiner 40 Sonnenmassen, an seiner Oberfläche nur ein Sechstel der der Sonne. Das liegt schlichtweg an seinem gewaltigen Durchmesser (sein Radius würde in unseren Sonnensystem bis zur Jupiterbahn reichen).

Ein Neutronenstern (hierzu kommen wir im nächsten Kapitel) hat nur den Durchmesser einer größeren Stadt, aber durchaus zwei Sonnenmassen. Seine Fluchtgeschwindigkeit liegt schon in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit, womit sich die Frage aufdrängt was passiert, wenn die Fluchtgeschwindigkeit gleich oder größer als die Lichtgeschwindigkeit wird.

Wenn der Kern eines Sterns am Ende seiner Lebenszeit aufgrund seiner gewaltigen Gravitation auf einen Radius schrumpft, der kleiner ist als der sogenannte Schwarzschild-Radius rS, kann das Licht nicht mehr über diesen „Ereignishorizont“ (das ist sozusagen die „Oberfläche“ bei diesem Radius) entweichen, es entsteht ein Schwarzes Loch:
Ersetzt man in der Formel vF durch c (Lichtgeschwindigkeit), so macht man strenggenommen etwas falsch da nicht relativistisch gerechnet wird, aber das Ergebnis ist trotzdem freundlicherweise das Gleiche:

Fortsetzung Tafelanschrieb:

Jetzt geht es ab mit der Phantasie der Schüler… Wie auch immer: Es macht keinen Spaß, sich in ein Schwarzes Loch zu begeben.

 

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