Die Flucht­ge­schwin­dig­keit

Vor­be­rei­tung (Stun­de 7 und 8 von 8):

04_eu­w_pp­t_­die_zwei­te_­kos­mi­sche_­ge­schwin­dig­keit.pptx

Ko­pie­ren der Ar­beits­blät­ter
07_eu­w_a­b_­spe­zi­fi­sche_­ge­schwin­dig­kei­ten_­de­s­_erd­monds.docx
08_eu­w_a­b_flucht­ge­schwin­dig­kei­ten.docx

Un­ter­richts­ab­lauf (Stun­de 7 und 8 von 8):

Für in­ter­pla­ne­ta­re Mis­sio­nen, also Flüge zu an­de­ren Pla­ne­ten oder Ob­jek­ten in un­se­rem Son­nen­sys­tem, muss man das Gra­vi­ta­ti­ons­feld der Erde ver­las­sen, um sich vom Gra­vi­ta­ti­ons­feld der Sonne den Weg wei­sen zu las­sen: Ein Brenn­punkt der Hoh­mann-Bahn ist dann die Sonne und nicht mehr die Erde oder der Mond.

Zu jedem Kör­per ge­hört eine Flucht­ge­schwin­dig­keit, mit der man aus sei­nem Gra­vi­ta­ti­ons­feld ent­kommt. Die zur Erde ge­hö­ri­ge heißt „2. kos­mi­sche Ge­schwin­dig­keit“. Möch­te man von der Erde aus das Son­nen­sys­tem ver­las­sen, be­nö­tigt man die 3. kos­mi­sche Ge­schwin­dig­keit (16,67 km/s). Sie ist nicht Ge­gen­stand des Un­ter­richts und soll­te auch nicht mit der Flucht­ge­schwin­dig­keit von der Sonne (hier­zu kom­men wir noch) ver­wech­selt wer­den.

Mit der Prä­sen­ta­ti­on 04_eu­w_pp­t_­die_zwei­te_­kos­mi­sche_­ge­schwin­dig­keit kann die 2. kos­mi­sche Ge­schwin­dig­keit er­ar­bei­tet wer­den.
Mit der ki­ne­ti­schen En­er­gie eines Kör­pers, kann in einem Gra­vi­ta­ti­ons­feld eine be­stimm­te Höhe er­reicht wer­den. Mit zu­neh­men­der Höhe nimmt im ra­dia­len Gra­vi­ta­ti­ons­feld die Gra­vi­ta­ti­ons­kraft mit dem Qua­drat der Ent­fer­nung ab.

Wenn man dies be­rück­sich­tigt, er­hält man die kleins­te Ge­schwin­dig­keit die ein Raum­schiff be­nö­tigt, um das Gra­vi­ta­ti­ons­feld der Erde zu ver­las­sen.

Die Rech­nung kann ab E_kin ≥ E_pot (Folie 11) wie­der von den Schü­lern über­nom­men wer­den.

Mög­li­cher Ta­fel­an­schrieb:

Mit dem Ar­beits­blatt 07_eu­w_a­b_­spe­zi­fi­sche_­ge­schwin­dig­kei­ten_­de­s­_erd­monds kön­nen die Schü­ler die Kreis­bahn­ge­schwin­dig­keit und Flucht­ge­schwin­dig­keit für die Apol­lo-Mis­sio­nen be­züg­lich des Erd­monds be­rech­nen: Hier­bei sieht man die gro­ßen Un­ter­schie­de im Ver­gleich zum Ab­flug von der Erde:

Die Kreis­bahn­ge­schwin­dig­keit v_K und die Flucht­ge­schwin­dig­keit v_F des Erd­monds be­tra­gen nur etwa 20% der der Erde (es un­ter­schei­det sie un­ter­ein­an­der je­weils nur der Fak­tor $\sqrt{2}$).

Ver­gleicht man die Masse der Auf­stiegs­stu­fe des Lunar Mo­du­les von 4,8 t mit den 2900 t der Sa­turn V, kann man sich auch grund­sätz­lich klar­ma­chen, dass ein re­la­tiv klei­nes Trieb­werk mit 15,6 kN Schub ge­nüg­te, um die Auf­stiegs­stu­fe in den Mon­d­or­bit zu brin­gen.

Falls ir­gend­wel­che Ver­schwö­rungs­theo­re­ti­ker an­we­send sein soll­ten: Dies­be­züg­lich sei auch an­ge­merkt, dass sogar meine Zeich­nung auf dem Ar­beits­blatt der Auf­stiegs­stu­fe falsch ist: Der Ab­gas­strahl war nicht sicht­bar. Letz­te­res be­flü­gelt eben­falls Ver­schwö­rungs­theo­re­ti­ker. Der Treib­stoff Hy­dra­zin (N₂H₄) und Di­me­thyl­hy­dra­zin mit dem Oxi­da­tor Dis­tick­stoff-Te­troxid (N₂O₄) ver­brennt nun mal in einer nicht sicht­ba­ren Flam­me, ins­be­son­de­re, wenn keine At­mo­sphä­re da ist. Da war also kein Kran im Film­stu­dio, der die Fähre weg­be­weg­te. Auf dem Ar­beits­blatt sah das aber ohne An­triebs­strahl leer aus und es war nicht klar, was die Auf­stiegs­stu­fe ge­ra­de macht, des­halb ist er da, ob­wohl er da nicht hin­ge­hört 😀 - es ist auch kein As­tro­naut zu­rück­ge­las­sen wor­den, um diese Szene zu fil­men, da gab es schon frü­her ge­eig­ne­te­re Me­tho­den - und bitte komm‘ mir jetzt nie­mand mit der we­hen­den Fahne…

Für die Flucht­ge­schwin­dig­keit v_F von einem Kör­per der Masse M mit Ra­di­us R gilt all­ge­mein:

$v_F=\sqrt{\mathrm{<em>2</em>}·G·\frac{M}{R}}$

Da die Flucht­ge­schwin­dig­keit also vom Ver­hält­nis der Masse des Zen­tral­kör­pers und der „Ab­flugs­hö­he“ R auf der Ober­flä­che ab­hängt, er­ge­ben sich in­ter­es­san­te Werte für di­ver­se Ob­jek­te (08_eu­w_a­b_flucht­ge­schwin­dig­kei­ten):

Beim Pla­ne­ten Mars ist der Wert er­war­tungs­ge­mäß klei­ner als auf der Erde, die Sonne hat mit ihrer rund 1000-fa­chen Ju­pi­ter­mas­se, aber nur 10-fa­chem Ju­pi­ter­ra­di­us eine 10-fach grö­ße­re Flucht­ge­schwin­dig­keit als Ju­pi­ter. Diese Min­dest­ge­schwin­dig­keit (617,3 km/s = 2,2 Mio. km/h) haben alle Teil­chen an der Son­nen­ober­flä­che, die sie mit dem Son­nen­wind ver­las­sen (Elek­tro­nen, Pro­to­nen, He-Kerne,…). Das ist harte Strah­lung, die nach spä­tes­tens drei Tagen die Erde er­reicht. Diese Vor­lauf­zeit wird auch ge­braucht, um bei hef­ti­gen Son­nen­aus­brü­chen Sa­tel­li­ten recht­zei­tig ab­zu­schal­ten, die ISS so zu dre­hen, dass die As­tro­nau­ten bes­ser ge­schützt sind, etc. (An­mer­kung 1: Das Ma­gnet­feld der Erde fängt viel ab, aber eben nicht alles. An­mer­kung 2: Hier geht es nicht um Licht und somit auch nicht um hoch­en­er­ge­ti­sche Pho­to­nen (z.B. γ-Strah­lung), die nur 8 Mi­nu­ten für diese Stre­cke be­nö­ti­gen!

Beim Rie­sen­stern VY Canis Ma­jo­ris, der uns be­reits in IMP Klas­se 9 be­geg­net ist (vgl. Un­ter­richts­gang Erde und Welt­all IMP 9, S. 4), be­trägt die Flucht­ge­schwin­dig­keit, trotz sei­ner 40 Son­nen­mas­sen, an sei­ner Ober­flä­che nur ein Sechs­tel der der Sonne. Das liegt schlicht­weg an sei­nem ge­wal­ti­gen Durch­mes­ser (sein Ra­di­us würde in un­se­ren Son­nen­sys­tem bis zur Ju­pi­ter­bahn rei­chen).

Ein Neu­tro­nen­stern (hier­zu kom­men wir im nächs­ten Ka­pi­tel) hat nur den Durch­mes­ser einer grö­ße­ren Stadt, aber durch­aus zwei Son­nen­mas­sen. Seine Flucht­ge­schwin­dig­keit liegt schon in der Nähe der Licht­ge­schwin­dig­keit, womit sich die Frage auf­drängt was pas­siert, wenn die Flucht­ge­schwin­dig­keit gleich oder grö­ßer als die Licht­ge­schwin­dig­keit wird.

Wenn der Kern eines Sterns am Ende sei­ner Le­bens­zeit auf­grund sei­ner ge­wal­ti­gen Gra­vi­ta­ti­on auf einen Ra­di­us schrumpft, der klei­ner ist als der so­ge­nann­te Schwarz­schild-Ra­di­us rS, kann das Licht nicht mehr über die­sen „Er­eig­nis­ho­ri­zont“ (das ist so­zu­sa­gen die „Ober­flä­che“ bei die­sem Ra­di­us) ent­wei­chen, es ent­steht ein Schwar­zes Loch:
Er­setzt man in der For­mel vF durch c (Licht­ge­schwin­dig­keit), so macht man streng­ge­nom­men etwas falsch da nicht re­la­ti­vis­tisch ge­rech­net wird, aber das Er­geb­nis ist trotz­dem freund­li­cher­wei­se das Glei­che:

Fort­set­zung Ta­fel­an­schrieb:

Jetzt geht es ab mit der Phan­ta­sie der Schü­ler… Wie auch immer: Es macht kei­nen Spaß, sich in ein Schwar­zes Loch zu be­ge­ben.

 

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [docx][433 KB]

Un­ter­richts­ver­lauf: Her­un­ter­la­den [pdf][2 MB]

 

Wei­ter zu Die Ent­wick­lung von Ster­nen