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Die Entdeckung extrasolarer Planeten

Vorbereitung (Stunden 5 und 6 von 6):

http://www.mabo-physik.de/transitmethode.html

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10_euw_ab_transitmethode.docx

Unter anderem um die Sterne 55 Cancri A, 51 Pegasi, HD 40307 HD 189733, HD 93083 wurden die Exoplaneten in Klasse 9 angesprochen. Bereits in Klasse 8 wurden die aktuellen Zahlen von Planetquest (NASA) (https://exoplanets.nasa.gov/) bezüglich der entdeckten Exoplaneten angeschaut. Zeit für eine Aktualisierung!

Die zurzeit (Stand 04/2020) effizienteste Methode, die Transitmethode (76,7 % der Entdeckungen), sollen die Schüler nun kennenlernen und erklären.

Anmerkung: Der erste Exoplanet ist 1995 allerdings mit der Radialgeschwindigkeitsmethode (optischer Dopplereffekt) von Michel Mayor vom Departement für Astronomie der Universität Genf und seinem Mitarbeiter Didier Queloz entdeckt worden (Nobelpreis 2019!).

Die grundlegende Voraussetzung für die Transitmethode ist der Fall, dass die Planetenbahn in der gleichen Ebene liegen muss wie die Verbindungslinie Erde-Stern. Beobachtet wird die Gesamtintensität I0 des Stern-Planetensystems.

Achtung Buchstabenvielfalt (ich kann nichts dafür): Die Strahlungsleistung P eines Sterns wird auch Leuchtkraft L genannt. Was hier auf der Erde ankommt ist die Intensität I: Die Intensität I eines Sterns entspricht dem, was in unserem Sonnensystem (bezüglich der Sonne) Solarkonstante S genannt wird.

Kurz: Der Stern gibt eine Strahlungsleistung P (bzw. L) auf eine beliebig gedachte Kugel mit Radius r ab (vgl. IMP 9, I. Das Licht der Sonne - 3. Die Strahlungsleistung der Sonne, S: 8).

Im Abstand r zu uns messen wir pro m² die Intensität I:

$I = \frac{P}{4 π r^{2}}$

Das Verhältnis der Intensitäten I_Tr / I_S gibt hierbei nichts anderes an, als das Verhältnis der abgestrahlten Leistung während des Transits P_Tr und ohne des Transits P_S (bzw. dem Verhältnis der jeweiligen „Solarkonstanten“):

$\frac{I_{Tr}}{I_{S}} = \frac{P_{Tr}}{P_{S}}$

Ein Intensitätsdiagramm kann z.B. folgendermaßen aussehen:

Abbildung 10: S. Hanssen

Anhand der Lichtkurve kann man einiges ablesen, beispielsweise: Umlaufdauer, Atmosphäreneigenschaften, Flecken auf dem Zentralstern, Planetenradius, Oberflächentemperatur.

Hier ein paar grundsätzliche Überlegungen anhand dieses Diagramms:

Umlaufdauer T: Man erkennt (neben dem Rauschen) zunächst zwei Minima: Das erste Minimum (①) rührt daher, dass der Planet direkt vor dem Stern steht und ihn verdunkelt. Der Planet hat eine Albedo: Er strahlt selbst auch ab und zwar umso mehr, je mehr man von seiner Tagseite sieht (s. Abb.: Hier führt das etwa bis zu + 0,5%). Befindet er sich hinter dem Stern, trägt diese nicht mehr zur Intensität bei, das zweite Minimum (②) entsteht.
Zwischen diesen Minima ist die halbe Umlaufdauer ½ T (hier ca. 1,4 d) ablesbar. Sieht man das zweite Minimum, aufgrund der geringen Intensität oder des Signalrauschens, nicht, kann man natürlich auch bis zum nächsten Transit warten.

Atmosphäreneigenschaften: Hat der Planet eine Atmosphäre, so lassen sich aus dem bekannten Spektrum des Sterns während des Transits weitere Absorptionslinien erkennen und somit Rückschlüsse auf Stoffe in der Planetenatmosphäre gewinnen.
Dass ein Planet eine Atmosphäre hat, macht eine kleine Besonderheit im Intensitätsdiagramm deutlich, das kleine Maximum exakt in der Mitte des ersten Minimums:
Es rührt daher, dass sich das Licht des Sterns in der Atmosphäre des Planeten streut und bricht. Licht das uns normalerweise nicht erreichen würde, wird nun doch in unsere Richtung geschickt und sorgt somit für eine Intensitätserhöhung. Ein Planet ohne Atmosphäre erzeugt kein Zwischenmaximum.

Sternflecken: Hat der Stern Flecken und wandert der Planet in der Sichtlinie vor diesen vorüber, so wird ein abgeschwächter Bereich verdeckt und die Helligkeit des Gesamtsystems wird größer. Kleine Zwischenmaxima im Minimum der Transitphase deuten auf Sternflecken hin, sofern sie nicht exakt in der Mitte des Minimums liegen. Ist dies der Fall, muss zum Beispiel über Absorptionsspektrumsvergleiche geprüft werden, ob die Ursache ein Sternfleck oder, wie oben beschrieben, eine Atmosphäre des Planeten ist.

Möglicher Tafelanschrieb:

Abbildung 11: S. Hanssen

Mit dem Arbeitsblatt 10_euw_ab_transitmethode können sich die Schüler nun selbständig zunächst Gedanken zum Helligkeitsverlauf verschiedener Objekte machen und die Kurven den Planeteneigenschaften (bzw. im dritten Fall der Sterneigenschaft) zuordnen.

Zur Verifizierung ihrer Ergebnisse können die Schüler mit dem Simulationsprogramm http://www.mabo-physik.de/transitmethode.html von Matthias Borchardt diese, bzw. ähnliche Kurvenverläufe nachstellen und andere Optionen prüfen. Die Kurven auf dem Arbeitsblatt stammen aus diesem Programm.

Fortsetzung Tafelanschrieb:

Abbildung 12: S. Hanssen

Weitere Dinge, die man aus einer solchen Kurve ablesen kann, sind äußerst interessant. Die fachlichen Dinge, die ich hier nur meine, werden wohl nur bei leistungsstärkeren Klassen Anklang finden, wenn man ins Detail geht:

Dass man aufgrund der Verdunklung auf die Größe des Planeten schließen kann, ist plausibel und kann zunächst allen Schülern vermittelt werden. Diesbezüglich sei auch auf das Arbeitsblatt verwiesen. Die hier im Folgenden genannten Details müssen nicht besprochen werden und werden auch nicht erwartet! Sie sind hier als Hintergrundinformation beschrieben und für leistungsstärkere Schüler sicher interessant!

Ein weiterführender Tafelanschrieb mit der folgenden Vertiefung könnte sich anhand des folgenden Textes und der Formeln orientieren.

Planetenradius: Geht man bei dem Stern wieder von einem Schwarzkörperstrahler aus, greift das Stefan- Stefan-Boltzmann-Gesetz P = A · σ · T⁴
(vgl. IMP 9, II. Leben im Sonnensystem - 3. Mittlere Oberflächentemperaturen, S: 13).

Ist A_S die abstrahlende Fläche des Sterns und A_P die abdeckende Fläche des Planeten, so kürzt sich in der Verhältnisgleichung σ und T⁴. Es bleibt:

$\frac{I_{Tr}}{I_{S}} = \frac{P_{Tr}}{P_{S}} = \frac{(A_{S} - A_{P}) \cdot σ \cdot T^{4}}{A_{S} \cdot σ \cdot T^{4}} = \frac{A_{S} - A_{P}}{A_{S}} = 1 - \frac{A_{P}}{A_{S}}$

A_P/A_S wird „Transittiefe“ ΔF genannt, sie ist im obigen Diagramm als Tiefe der Kurve ablesbar.

Hat man also die Transittiefe ΔF gemessen, so hat man prinzipiell das Flächenverhältnis und somit auch das Radienverhältnis von Planet und Stern

$Δ F = \frac{A^{P}}{A^{S}} = \frac{π {R_{P}}^{2}}{π {R_{S}}^{2}}$

Kennt man den Sternradius R_S , so kann man damit den Planetenradius bestimmen:

$R^{P} = R^{S} \cdot \sqrt{Δ F}$

Oberflächentemperatur: Für die Bestimmung der Temperatur des Planeten greift ebenfalls das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Sind beide Himmelskörper sichtbar, so addieren sich ihre Intensitäten:

$I_{ges} = I_{S} + I_{P} = \frac{σ (A_{S} \cdot {T_{S}}^{4} + A_{P} \cdot {T_{S}}^{4})}{4 π r^{2}} = c_{1} (A_{S} \cdot {T_{S}}^{4} + A_{P} \cdot {T_{S}}^{4})$

Sowohl σ als auch 4πr² sind Konstanten, die jetzt als c₁ zusammengefasst sind (das „r“ im Nenner ist hier wieder der Abstand des Systems zu uns, spielt aber gleich keine Rolle mehr). Schreibt man für A_S=πR_S² und für A_P=πR_P² kann man π ebenfalls ausklammern, zu c₁ hinzufügen und c₁ wird zu c₂ (spielt auch gleich keine Rolle mehr):

$I_{ges} = c_{2} ({R_{S}}^{2} \cdot {T_{S}}^{4} + {R_{P}}^{2} \cdot {T_{S}}^{4})$

Allgemein gilt für die Intensität des Sterns

$I_{ges} = c_{2} \cdot {R_{S}}^{2} \cdot {T_{S}}^{4}$

Die Intensität des Sterns selbst ist 0,5% geringer als die Gesamtintensität I_ges (Abbildung 8):

$I_{ges} = 0,995 \cdot I_{ges} = 0,995 \cdot c_{2} ({R_{S}}^{2} \cdot {T_{S}}^{4} + {R_{P}}^{2} \cdot {T_{S}}^{4})$

Damit haben wir zwei Gleichungen, man erhält für T_P⁴:

${T_{P}}^{4} = (\frac{1}{0,995} - 1) \frac{{R_{S}}^{2}}{{R_{P}}^{2}} \cdot {T_{S}}^{4}$

...vierte Wurzel und man hat die Oberflächentemperatur. Das „c₂“ ist wie versprochen weg 😀.

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