Nä­he­rungs­ver­fah­ren

(1) In­ter­vall­ver­fah­ren

Lie­fern durch fort­ge­setz­tes Qua­drie­ren die Ein­sicht, dass eine ir­ra­tio­na­le Wur­zel nicht mit ir­gend­ei­ner Zif­fer enden kann (sie könn­te dann aber immer noch pe­ri­odisch sein).

Sind am Zah­len­strahl ein­sich­tig und gut nach­voll­zieh­bar und auf an­de­re Pro­ble­me (z.B. Lo­ga­rith­mus) über­trag­bar. Sind recht schwer­fäl­lig (auch im TR).

1. In­ter­vall­hal­bie­rung
   Ein­stieg: Ich denke mir eine zwei­stel­li­ge Zahl, die Du mit mög­lichst we­ni­gen Ver­su­chen er­ra­ten sollst. Ich sage Dir je­weils, ob Du zu hoch oder zu tief liegst.
   Kla­res Vor­ge­hen, aber sehr lang­sam:
   
   

   1	<		<	2	denn		<	2	<
   1	<		<	1,5	denn		<	2	<
   1,25	<		<	1,5	denn		<	2	<
   …

2. In­ter­vall­ver­fei­ne­rung
   In­ter­vall wird in Zehn­tel­schrit­ten qua­driert und es wer­den die bei­den Zah­len, deren Qua­dra­te ge­ra­de noch unter bzw. über 2 lie­gen, als neue Gren­zen eines In­ter­valls ge­wählt. Nun wird das Ver­fah­ren in Hun­derts­tel­schrit­ten wie­der­holt.
   Mit mehr Grips etwas schnel­ler und damit schü­ler­freund­li­cher, aber we­ni­ger an­schau­lich.
   
   

   1	<		<	2	denn		<	2	<
   1,4	<		<	1,5	denn		<	2	<
   1,41	<		<	1,42	denn		<	2	<
   …

(2) Heron

Nä­he­rung er­folgt geo­me­trisch und sehr schnell (auch mit TR). Ein­sich­ten am Zah­len­strahl und durch Qua­drie­ren von Nä­he­rungs­wer­ten blei­ben ver­bor­gen.

Vor­ge­hen:

Ge­sucht wird ein Qua­drat mit dem Flä­chen­in­halt 2 und damit der Sei­ten­län­ge .

Dazu nä­hert man flä­chenglei­che Recht­ecke (mit den Sei­ten und ) durch Mit­tel­wert­bil­dung immer wei­ter an das Qua­drat an.

0.​Schritt:

1.​Schritt: (Mit­tel­wert) (Flä­chengleich­heit)

2.​Schritt: …

Ins­ge­samt be­ruht das He­ron­ver­fah­ren zur Be­stim­mung von auf der re­kur­si­ven For­mel , die auch leicht im Ta­schen­rech­ner ein­geb­bar ist.

Für an­de­re Wur­zeln er­ge­ben sich auch im zwei­ten Schritt noch „ein­fa­che­re“ Zah­len:

	1	1	1
	2	3	4
	1,75		2,875
	1,732142857…	2,23095238…	2,654891304…

Die For­mel ist auch ein Spe­zi­al­fall des New­ton-Ver­fah­rens (Spi­ral­cur­ri­cu­la­ri­tät: Auf­grei­fen in Ober­stu­fe mög­lich):

Null­stel­len:

Auf diese Weise kann man auch eine Nä­he­rungs­for­mel für als Null­stel­le von her­lei­ten:



Man­che hö­he­re Wur­zel lässt sich auch mit einer ein­fa­chen Über­tra­gung der Heron-for­mel nä­he­rungs­wei­se be­rech­nen:



Al­ler­dings kon­ver­giert diese For­mel lang­sa­mer und ab der fünf­ten Wur­zeln oft gar nicht.

De­fi­niert man die rech­te Seite der For­mel als Funk­ti­on , so ist die Kon­ver­genz

nur für ga­ran­tiert.

Beide For­meln las­sen sich wie­der als Mit­tel­wert­bil­dung dies­mal beim Her­stel­len eines k-di­men­sio­na­len Wür­fel in­ter­pre­tie­ren. Die ein­fa­che For­mel ver­än­dert dabei eine Kan­ten­län­ge und passt die an­de­ren durch Vo­lu­men­gleich­heit an. Die schnel­le­re For­mel ver­än­dert dabei gleich k-1 Kan­ten gleich­zei­tig und passt die letz­te durch Vo­lu­men­gleich­heit an. Der Mit­tel­wert wird dann als ge­wich­te­tes Mit­tel be­rech­net.

(3) Ba­by­lo­ni­sche Wur­zel­nä­he­rung

His­to­risch be­deut­sam und da­durch auch his­to­ri­sche Aus­flü­ge mög­lich. In­halt­li­che Aus­flü­ge und Rück­grif­fe mög­lich (an­de­re Zahl­sys­te­me, 60 als be­son­de­re Zahl).

We­ni­ger gut nach­voll­zieh- und durch­führ­bar (Bin­nen­dif­fe­ren­zie­rung?!).



Vor­ge­hen für :
• Wähle (nahe) Qua­drat­zahl und zeich­ne zwei zen­trums­glei­che Qua­dra­te mit Sei­ten­län­gen und und deren Dif­fe­renz ist
• Die Rah­men­flä­che r wird durch die vier Recht­ecke an­ge­nä­hert:
• Also ist und

Die­ses Ver­fah­ren lässt sich auch ite­rie­ren und ist dabei nicht auf ganz­zah­li­ge oder auf sol­che, deren Qua­drat klei­ner als ist, be­schränkt:

Für gilt n=1 und r=1 und damit:

Und wei­ter n=1,5 und r=-0,25 und damit:

Mit die­sem Ver­fah­ren haben die Ba­by­lo­ni­er in ihrem 60er-Sys­tem ver­blüf­fend genau er­mit­telt und das ca. 1000 Jahre vor Py­tha­go­ras:



 

Über­set­zung:

Die Zah­len dar­un­ter stel­len dann eine eben­so gute Nä­he­rung der hal­ben Dia­go­na­len­län­ge dar.

 

Ar­ti­kel: Her­un­ter­la­den [pdf][1 MB]

 

Wei­ter zu Be­weis­ver­fah­ren