Be­weis­ver­fah­ren

(1) Vor­ent­las­tung: Wi­der­spruchs­be­weis

Der oh­ne­hin nicht ein­fa­che Be­weis der Ir­ra­tio­na­li­tät soll­te da­durch vor­ent­las­tet wer­den, dass das Prin­zip des Wi­der­spruchs an einem All­tags­bei­spiel er­läu­tert wird:

An­nah­me:

• Da­ni­el ist ein net­ter Schü­ler (man geht von einem fik­ti­ven (?) Que­ru­lant aus)
• Also ist Da­ni­el nett zu Men­schen
• Leh­rer sind auch Men­schen (das wird durch­aus dann hef­tig dis­ku­tiert)
• Also ist Da­ni­el nett zu Leh­rern
• Wi­der­spruch!

Es bie­tet sich an, den Wi­der­spruchs­be­weis auf ein Bei­spiel aus der Ma­the­ma­tik an­zu­wen­den, dem Nicht­ab­bre­chen der Prim­zahl­fol­ge. Hier wer­den nicht nur Be­grif­fe aus den Stan­dards 6 wie­der­auf­ge­grif­fen, das spä­te­re Vor­ge­hen bei der Ir­ra­tio­na­li­tät von wird durch etwas ein­fa­che­re Zu­sam­men­hän­ge vor­be­rei­tet.

An­nah­me:

• Es gibt eine größ­te Prim­zahl p
• Dann de­fi­nie­ren wir die Zahl
• Dann ist m durch keine Prim­zahl teil­bar (Rest ist stets 1)
• Dann ist m ent­we­der selbst eine Prim­zahl grö­ßer als p oder durch eine Zahl grö­ßer als p teil­bar, die selbst Prim­zahl ist
• Wi­der­spruch: p ist nicht die größ­te Prim­zahl!

An­mer­kung: Aus­pro­bie­ren ist lehr­reich!

 

2+1 prim, prim, prim, prim

aber:

(2) Tei­ler­wi­der­spruch nach Eu­klid

a) Klas­sisch

Wei­te­re Vor­ent­las­tung:

Ist ge­ra­de, so ist auch ge­ra­de

for­mal:

Oder bes­ser durch Aus­pro­bie­ren mit allen End­zif­fern:

also ge­ra­de End­zif­fer lie­fert wie­der ge­ra­de End­zif­fer

also un­ge­ra­de End­zif­fer lie­fert wie­der un­ge­ra­de End­zif­fer (dies ist ent­schei­dend für den fol­gen­den Be­weis)

Der Be­weis:

An­nah­me: , wobei der Bruch voll­stän­dig ge­kürzt ist

Also oder

Also ge­ra­de und damit (s.o.) ge­ra­de

Also

Also

Also

Also ge­ra­de und damit (s.o.) ge­ra­de

Wi­der­spruch zur An­nah­me!

An­mer­kun­gen:

Die­ser Be­weis lässt sich so auch mit und mit durch­füh­ren.

Man soll­te aber auch zum Kon­trast zei­gen, dass und warum er mit nicht funk­tio­niert (weil aus durch vier teil­bar nur ge­ra­de folgt).

b) All­ge­mei­ner mit Prim­fak­to­ren

Wei­te­re Vor­ent­las­tung: Die An­zahl glei­cher Prim­fak­to­ren wird beim Qua­drie­ren ver­dop­pelt durch Aus­pro­bie­ren.

Glei­ches Vor­ge­hen bis

Nun hat man links eine un­ge­ra­de An­zahl des Prim­fak­tors 2 und rechts eine ge­ra­de: Wi­der­spruch!

Die­ser Be­weis lässt sich mit allen Wur­zeln durch­füh­ren.

c) Schü­ler­freund­li­cher (?) mit ge­kürz­tem Bruch

Wei­te­re Vor­ent­las­tung: Das Qua­drat eines ge­kürz­ten Bru­ches ist auch ge­kürzt durch Aus­pro­bie­ren.

An­nah­me: , wobei der Bruch voll­stän­dig ge­kürzt ist.

Weil 1<<2 gilt: q>1

Dann ist auch ein voll­stän­dig ge­kürz­ter Bruch mit Nen­ner>1

Wi­der­spruch!

(3) Un­end­li­cher Ab­stieg nach Fer­mat

a) Klas­sisch (nicht für die Schu­le)

An­nah­me: , wobei die kleinst­mög­li­chen na­tür­li­chen Zah­len sind.

Also oder

Damit ist und somit , wir de­fi­nie­ren: na­tür­lich.

Wegen ist , wir de­fi­nie­ren: na­tür­lich.

Dann gilt: , denn

und

Also waren nicht kleinst­mög­lich, es las­sen sich klei­ne­re kon­stru­ie­ren.

Wi­der­spruch!

Man kann auch kon­kret schü­ler­freund­li­cher rech­nen:

Oder Nach­rech­nen: (?) also (!)

Der Be­weis und v.a. das „Ent­ste­hen“ der Zah­len m und n lässt sich auch an­schau­lich durch­füh­ren:

Dies kann mit dem Schü­ler­ma­te­ri­al von R. Ordow­ski im Auf­ga­ben­teil („Spiel­stei­ne“) im Un­ter­richt the­ma­ti­siert wer­den.

Eine wei­te­re Mög­lich­keit über DIN-For­ma­te und durch Fal­ten bie­tet das Ma­te­ri­al von C. Mess­ner („Pa­pier­fal­ten“).

Von R. Ordow­ski stammt auch die Mög­lich­keit, die­sen Be­weis durch eine Drei­ecks­kon­struk­ti­on zu ver­an­schau­li­chen („Drei­eck“).

Eine wei­te­re noch ein­fa­che­re Drei­ecks­kon­struk­ti­on be­dient sich der Ähn­lich­keit von Drei­ecken und ist eben­falls im Auf­ga­ben­teil („Ähn­lich­keit“).

b) In Kom­bi­na­ti­on mit Eu­klid

An­nah­me: , wobei der Bruch voll­stän­dig ge­kürzt ist

Also oder

Ei­ner­seits gilt:	An­de­rer­seits gilt: ge­ra­de und damit ge­ra­de Also Also Also
Damit gilt: …
Also gibt es eine un­end­lich ab­stei­gen­de Folge:
Wi­der­spruch!

Atri­kel: Her­un­ter­la­den [pdf][1 MB]

 

Wei­ter zu Um­gang mit Wur­zeln