Beweisverfahren

(1) Vorentlastung: Widerspruchsbeweis

Der ohnehin nicht einfache Beweis der Irrationalität sollte dadurch vorentlastet werden, dass das Prinzip des Widerspruchs an einem Alltagsbeispiel erläutert wird:

Annahme:

• Daniel ist ein netter Schüler (man geht von einem fiktiven (?) Querulant aus)
• Also ist Daniel nett zu Menschen
• Lehrer sind auch Menschen (das wird durchaus dann heftig diskutiert)
• Also ist Daniel nett zu Lehrern
• Widerspruch!

Es bietet sich an, den Widerspruchsbeweis auf ein Beispiel aus der Mathematik anzuwenden, dem Nichtabbrechen der Primzahlfolge. Hier werden nicht nur Begriffe aus den Standards 6 wiederaufgegriffen, das spätere Vorgehen bei der Irrationalität von wird durch etwas einfachere Zusammenhänge vorbereitet.

Annahme:

• Es gibt eine größte Primzahl p
• Dann definieren wir die Zahl
• Dann ist m durch keine Primzahl teilbar (Rest ist stets 1)
• Dann ist m entweder selbst eine Primzahl größer als p oder durch eine Zahl größer als p teilbar, die selbst Primzahl ist
• Widerspruch: p ist nicht die größte Primzahl!

Anmerkung: Ausprobieren ist lehrreich!

 

2+1 prim, prim, prim, prim

aber:

(2) Teilerwiderspruch nach Euklid

a) Klassisch

Weitere Vorentlastung:

Ist gerade, so ist auch gerade

formal:

Oder besser durch Ausprobieren mit allen Endziffern:

also gerade Endziffer liefert wieder gerade Endziffer

also ungerade Endziffer liefert wieder ungerade Endziffer (dies ist entscheidend für den folgenden Beweis)

Der Beweis:

Annahme: , wobei der Bruch vollständig gekürzt ist

Also oder

Also gerade und damit (s.o.) gerade

Also

Also

Also

Also gerade und damit (s.o.) gerade

Widerspruch zur Annahme!

Anmerkungen:

Dieser Beweis lässt sich so auch mit und mit durchführen.

Man sollte aber auch zum Kontrast zeigen, dass und warum er mit nicht funktioniert (weil aus durch vier teilbar nur gerade folgt).

b) Allgemeiner mit Primfaktoren

Weitere Vorentlastung: Die Anzahl gleicher Primfaktoren wird beim Quadrieren verdoppelt durch Ausprobieren.

Gleiches Vorgehen bis

Nun hat man links eine ungerade Anzahl des Primfaktors 2 und rechts eine gerade: Widerspruch!

Dieser Beweis lässt sich mit allen Wurzeln durchführen.

c) Schülerfreundlicher (?) mit gekürztem Bruch

Weitere Vorentlastung: Das Quadrat eines gekürzten Bruches ist auch gekürzt durch Ausprobieren.

Annahme: , wobei der Bruch vollständig gekürzt ist.

Weil 1<<2 gilt: q>1

Dann ist auch ein vollständig gekürzter Bruch mit Nenner>1

Widerspruch!

(3) Unendlicher Abstieg nach Fermat

a) Klassisch (nicht für die Schule)

Annahme: , wobei die kleinstmöglichen natürlichen Zahlen sind.

Also oder

Damit ist und somit , wir definieren: natürlich.

Wegen ist , wir definieren: natürlich.

Dann gilt: , denn

und

Also waren nicht kleinstmöglich, es lassen sich kleinere konstruieren.

Widerspruch!

Man kann auch konkret schülerfreundlicher rechnen:

Oder Nachrechnen: (?) also (!)

Der Beweis und v.a. das „Entstehen“ der Zahlen m und n lässt sich auch anschaulich durchführen:

Dies kann mit dem Schülermaterial von R. Ordowski im Aufgabenteil („Spielsteine“) im Unterricht thematisiert werden.

Eine weitere Möglichkeit über DIN-Formate und durch Falten bietet das Material von C. Messner („Papierfalten“).

Von R. Ordowski stammt auch die Möglichkeit, diesen Beweis durch eine Dreieckskonstruktion zu veranschaulichen („Dreieck“).

Eine weitere noch einfachere Dreieckskonstruktion bedient sich der Ähnlichkeit von Dreiecken und ist ebenfalls im Aufgabenteil („Ähnlichkeit“).

b) In Kombination mit Euklid

Annahme: , wobei der Bruch vollständig gekürzt ist

Also oder

Einerseits gilt:	Andererseits gilt: gerade und damit gerade Also Also Also
Damit gilt: …
Also gibt es eine unendlich absteigende Folge:
Widerspruch!

Atrikel: Herunterladen [pdf][1 MB]

 

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