Quadratzahl
Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist.
(Ein genetischer Nachweis der Irrationalität von 
)
(1) Martin versucht mit Spielsteinen zu überprüfen, ob es eine natürliche Zahl n gibt, für die 
eine Quadratzahl sein kann. Unten siehst Du seine Versuche für 
und
. Erkläre sein Vorgehen.
(2*n2 = n2 + n2 , Ergänzen des ersten Quadrats durch die Steine des zweiten.)
(2) Für n=3 und für n=4 ist das Doppelte von 
offenbar keine Quadratzahl. Für welche n klappt es?
Angenommen, Martin hätte beim schrittweisen Probieren tatsächlich eine natürliche Zahl n gefunden, bei der eine Quadratzahl ist.
Für alle natürlichen Zahlen kleiner als n hätte es noch nicht geklappt. D.h. diese Zahl n ist die kleinste mit der Eigenschaft, dass eine Quadratzahl ist.
Wie müsste dann das Ergebnis bei Martins Vorgehen aussehen?
Ergänze die Figur. (Steine sind jetzt nicht eingezeichnet.)
(Rot umrahmte Figur finden lassen.)
(3) Die blau und braun gefärbten Flächen enthalten gleich viele Spielsteine bzw. haben den gleichen Flächeninhalt.
Begründe, dass in der Figur k < n sein muss.
(4) Aus der Annahme, dass n die kleinste Zahl ist, bei der 
eine Quadratzahl ist, würde folgen, dass es eine noch kleinere Zahl k gibt, für die 
eine Quadratzahl ist.
Widerspruch!
Es gibt daher keine natürliche Zahl n, für die eine Quadratzahl ist!
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