Grundlagen

Die Thematik der Normalverteilung bildet chronologisch betrachtet den Abschluss des Teilgebiets Stochastik in der Schulmathematik. Die Schülerinnen und Schüler sammeln bereits in den Klassenstufen 5/6 erste Erfahrungen auf diesem Gebiet, in dem sie die Kenngrößen Mittelwert, Minimum und Maximum bestimmen, Daten sammeln, auswerten und grafisch darstellen, sowie relative Häufigkeiten ermitteln.

In den Klassenstufen 7/8 lernen sie mit Median und den Quartilen weitere Kenngrößen kennen und ergänzen ihr Spektrum an Darstellungsmöglichkeiten durch Boxplots. Sie erfahren die Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen und legen so die Grundlagenfür einen empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Die Schülerinnen und Schüler führen Zufallsexperimente durch und bestimmen Wahrscheinlichkeiten durch einfache kombinatorische oder theoretische Überlegungen und mithilfe von Baumdiagrammen. So wird die theoretische Bedeutung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs angelegt und Laplace-Experimente sind das erste explizit genannte Beispiel für eine diskrete Verteilung.

In denKlassenstufen 9/10 wird die Liste der Kenngrößen um den Erwartungswert und die Standardabweichung vervollständigt und mit der Binomialverteilung lernen die Schülerinnen und Schüler eine weitere diskrete Verteilung kennen.

Durch die bei der Normalverteilung deutlich erkennbare Relevanz der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung schließtsich der Kreis zu den aus der Unter- und Mittelstufe bekannten Kenngrößen und der Darstellung von Daten in Form eines Boxplots. Um diesen Zusammenhang noch deutlicher hervorzuheben, bietet sich als mögliche Vertiefung das Arbeiten mit Sigma-Umgebungen an. Mit der Normalverteilung lernen die Schülerinnen und Schüler nun eine stetige Verteilung kennen, wobei im Basisfach der Anwendungsaspekt im Vordergrund steht, während im Leitungsfach ein Schwerpunkt auf der innermathematischen Betrachtung der Dichtefunktion liegt.

So steht im Bildungsplan des Basisfachs:

Zwar könnte gemäß den Vorgaben der KMK (Beschluss vom 18.10.2012 zu den Bildungs-standards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife) auf eine Fortführung der Stochastik im Basisfach verzichtet werden, da alle verbindlichen Inhalte für das grundlegende Niveau bereits durch die Standards bis Klasse 10 abgedeckt sind, jedoch sollte die Stochastik auch im Basisfach präsent sein. Auch die Alltagsrelevanz annähernd normalverteilter Zufallsgrößen spricht für die Aufnahme dieses Themas als verbindlichen Inhalt.

Für das Basisfach genügt es, den Unterschied zwischen diskreten und steigen Zufallsgrößen an konkreten Beispielen binomial- bzw. normalverteilter Zufallsgrößen zu beschreiben; sie nutzen die Kenngrößen, um Glockenkurven zu skizzieren und Wahrscheinlichkeiten ohne expliziten Bezug zur Analysis direkt mithilfe digitaler Hilfsmittel zu berechnen. Der Begriff der Dichtefunktion muss im Basisfach nicht eingeführt werden.

Im Bildungsplan 2004 findet man zur Leitidee „Daten und Zufall“:

Bei der Interpretation dieser Inhalte wurde in den Umsetzungsbeispielen stets die Normalverteilung als ein bedeutsames Beispiel einer stetigen Verteilung genannt. Dieser Inhalt bleibt auch nach dem Inkrafttreten des Bildungsplans 2016 unverändert (Abiturjahrgänge ab 2023). Der Bildungsplan 2016 kann bezogen auf die verwendeten Operatoren und die kursiv gesetzten Begriffe als Interpretation des geforderten Niveaus im Leistungsfach aber auch schon während der Gültigkeit des Bildungsplans 2004 (Abiturjahrgänge 2021 & 2022) herangezogen werden.

Der Bildungsplan 2016 lautet bezogen auf stetige Verteilungen folgendermaßen:

Von Schülerinnen und Schülern des Leistungsfaches wird erwartet, dass sie in der Lage sind, den Unterschied zwischen diskret und stetig verteilten Zufallsgrößen allgemein zu erläutern. Auch hierwerden sicher schwerpunktmäßig binomialverteilte bzw. normalverteilte Zufallsgrößen betrachtet, aber auch andere Verteilungen (z.B. die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung) können zur Vertiefung und Festigung der beiden Begriffe „diskret“ und „stetig“ im Leistungsfach herangezogen werden.

Die Schülerinnen und Schüler nutzen ihre im Bereich der Analysis erworbenen Kenntnisse um Dichte- und Verteilungsfunktion gegeneinander abzugrenzen. Sie erfahren zusätzlich, dass die Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung als Integral dargestellt werden können.

Durch den Einsatz digitaler Hilfsmittel ist die Relevanz der Normalverteilung als Näherung für binomialverteilte Zufallsgrößen nur noch von historischer Bedeutung. Diese sollte zumindest den Schülerinnen und Schülern des Leistungsfachs aufgezeigt werden, ebenso wie die Möglichkeit, als Modellierung für bestimmte, diskret verteilte Zufallsgrößen die Normalverteilung anzuwenden. In diesem Zusammenhang erkennen sie auch die Bedeutung der Stetigkeitskorrektur.

Didaktische Hinweise: Herunterladen [pdf][331 KB]

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