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Ein­ord­nen des Wis­sens

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.


Eine Klam­mer zwi­schen Er­ar­bei­tung und Wie­der­auf­grei­fen stellt das Ein­ord­nen des Wis­sens dar, weil es glei­cher­ma­ßen in bei­den Pha­sen statt­fin­den soll­te. Viele der hier ge­nann­ten Maß­nah­men las­sen sich nach der Hat­tie-Ter­mi­no­lo­gie unter „Me­ta­ko­gni­ti­ve Stra­te­gi­en“ (d=0,69) ein­ord­nen. Es geht hier also um das Den­ken auf einer hö­he­ren Ebene oder schlicht um das Nach­den­ken über das Den­ken.

Das Ein­ord­nen des Wis­sens dient als Merk- und Ver­net­zungs­hil­fe und zur Feh­ler­ver­mei­dung, wobei die ge­nann­ten Mög­lich­kei­ten si­cher wei­ter er­gänzt wer­den kön­nen und Über­schei­dun­gen er­wünscht sind.

Merk­hil­fen:

  • Ana­lo­gi­sie­ren: Flä­chen­in­halt­be­rech­nun­gen müs­sen immer, falls man den Va­ria­blen die Ein­heit Meter zu­schreibt, zur Ein­heit Qua­drat­me­ter füh­ren. Flä­chen, die etwas mit Krei­sen zu tun haben, er­hal­ten stets den Fak­tor π.
  • Kon­tras­tie­ren: Viele Dinge – auch im All­tag – ver­steht man durch eine di­rek­te Er­klä­rung, um was es sich han­delt, nicht voll­stän­dig. Oft ist es ge­nau­so wich­tig aus­zu­drü­cken, um was es sich nicht han­delt. So muss man die qua­dra­ti­schen Glei­chun­gen deut­lich mit den li­nea­ren (als Rück­griff) und evtl. mit den wei­te­ren Po­ly­nom­glei­chun­gen (als Vor­griff) kon­tras­tie­ren. Sonst grei­fen die Schü­ler auf Ge­lern­tes zu­rück zur Lö­sung der qua­dra­ti­schen Glei­chung: Um­stel­len nach x
  • Mo­du­la­ri­sie­ren: Es gilt – wann immer mög­lich - ge­eig­ne­te Ka­te­go­ri­en zu bil­den. So be­rech­net man das Vo­lu­men aller senk­rech­ten Kör­per mit Grund­flä­che mal Höhe, alle spitz zu­lau­fen­den Kör­per haben noch den Vor­fak­tor ein Drit­tel. Damit sind alle we­sent­li­chen Vo­lu­men­for­meln zu­sam­men­ge­fasst.

Ver­net­zung:

  • Um­kehr­auf­ga­ben: In der Ma­the­ma­tik sind viele Re­chen­tech­ni­ken als Ven­til an­zu­se­hen: in eine Rich­tung geht es leicht, in die an­de­re schwer(er). Ad­die­ren und Sub­tra­hie­ren ist ein Bei­spiel, aber auch Ab­lei­ten und Auf­lei­ten. Auch im Sinne des Kon­tras­tie­rens soll­te man früh an­fan­gen, die üb­li­chen Vor­wärts­auf­ga­ben mit Rück­wärts­auf­ga­ben an­zu­rei­chern, auch wenn dies einen Vor­griff dar­stellt. Das Lösen von Glei­chun­gen kön­nen viele Schü­ler nur dann ver­ste­hen, wenn sie Glei­chun­gen rück­wärts her­ge­stellt haben („Zah­len ver­ste­cken“). Erst dann er­lebt man, dass beim Glei­chung­lö­sen 'Strich-vor-Punkt-vor-Klam­mer' gilt.
  • Auf­zei­gen von Quer­be­zü­gen: Das Aus­mul­ti­pli­zie­ren von Sum­men und Dif­fe­ren­zen (bis hin zu den bi­no­mi­schen For­meln) soll­te man auch mit Flä­chen de­mons­trie­ren. Die Pfad­re­gel und die Mul­ti­pli­ka­ti­on von Brü­chen sind auf das Engs­te durch die „Von-Pro­ble­ma­tik“ ver­bun­den: Eine Sechs zwei­mal zu wer­fen hat die Wahr­schein­lich­keit ein Sechs­tel von ein Sechs­tel.
  • Ver­gleich ver­schie­de­ner Lö­sungs­we­ge: Mir scheint, das Be­ar­bei­ten einer Auf­ga­be auf ver­schie­de­ne Art und Weise ist eher aus der Mode ge­ra­ten. Man ver­sucht, den Schü­lern den ein­fachs­ten Weg bei­zu­brin­gen. Aber ers­tens ist der ein­fachs­te Weg des Leh­rers si­cher nicht für alle Schü­ler der ein­fachs­te und zwei­tens ver­hin­dert man damit ein Nach­den­ken über den Lö­sungs­weg, was zu den ef­fek­tivs­ten me­ta­ko­gni­ti­ven Stra­te­gi­en ge­hört. Drit­tens kann man z.B. durch Be­ar­bei­ten der ver­schie­de­nen Mög­lich­kei­ten zur Be­rech­nung der Lot­fuß­punk­te bei wind­schie­fen Ge­ra­den – ganz ne­ben­bei – einen wie­der­ho­len­den Durch­gang durch weite Teile der ana­ly­ti­schen Geo­me­trie rea­li­sie­ren.

Kon­troll­me­cha­nis­men:

  • Ab­schät­zun­gen: Das Schät­zen ge­hört zu den ur­ma­the­ma­ti­schen Fä­hig­kei­ten. Wer gut schätzt, hat schon viel ver­stan­den und kann feh­ler­haf­te Er­geb­nis­se aus­sor­tie­ren.
  • Plau­si­bi­li­täts­be­trach­tun­gen: Viele Feh­ler las­sen sich ver­mei­den, indem man sich die (Zwi­schen-)Er­geb­nis­se plau­si­bel macht. Beim Aus­mul­ti­pli­zie­ren einer Summe und einer Dif­fe­renz müs­sen (zu­nächst) vier Terme auf­tre­ten, zwei­mal mit „minus“, zwei­mal mit „plus“. Bei bi­no­mi­schen For­meln mit li­nea­ren Klam­mer­in­hal­ten müs­sen alle Er­geb­nis­ter­me ins­ge­samt qua­dra­tisch sein.
  • Rück­griff auf (ein­fa­che) Bei­spie­le: Was mit Va­ria­blen nicht ver­stan­den wird, kann mit Zah­len er­schlos­sen wer­den. Oft kom­men für Schü­ler nur zwei Mög­lich­kei­ten in Frage: Wird beim ers­ten Po­tenz­ge­setz im Ex­po­nen­ten ad­diert oder mul­ti­pli­ziert? Durch Rück­be­sin­nung auf die Po­tenz als fort­ge­setz­te Mul­ti­pli­ka­ti­on (nicht auf eine For­mel!) ist das schnell ge­klärt. In kom­ple­xe­ren Ter­men kann man Teil­ter­me durch ein­zel­ne Va­ria­blen oder Zah­len er­set­zen, weg­ge­las­se­ne Mal­zei­chen oder Klam­mern wie­der ein­fü­gen usw.

Ins­ge­samt geht es beim Ein­ord­nen des Wis­sens also darum, so­wohl bei der Er­ar­bei­tung als auch in Pha­sen des Wie­der­auf­grei­fens Rück­grif­fe und ge­le­gent­lich auch Vor­grif­fe zu or­ga­ni­sie­ren. Die Kon­troll­me­cha­nis­men müs­sen eben­so wie Ter­mum­for­mun­gen geübt wer­den. Sie ge­hö­ren zum pro­duk­ti­ven Um­gang mit Feh­lern (auch eine Me­tastra­te­gie), auf die ich hier noch kurz ein­ge­he.

Eine Er­klä­rung des Feh­lers durch den Leh­rer kann nur ein ers­ter Schritt sein. Ziel soll­te es aber sein, dass die Schü­ler ihre ge­mach­ten Feh­ler (vom Leh­rer ge­nannt oder an­ge­stri­chen be­kom­men und) selbst ana­ly­sie­ren, um sie schließ­lich in Zu­kunft selbst zu ent­de­cken und zu ver­mei­den.

Auch die ge­mein­sa­me Be­spre­chung und Auf­de­ckung von ty­pi­schen Feh­lern (wie sie auch in vie­len Schul­bü­chern an­ge­bo­ten wird: „Finde den Feh­ler“) ist nur eine Vor­stu­fe. Viele Schü­ler sehen – aus nach­voll­zieh­ba­ren Grün­den – nur dann Sinn in der Feh­ler­su­che und –ana­ly­se, wenn es sich um ei­ge­ne, per­sön­li­che Feh­ler han­delt. Dazu kön­nen die Schü­ler z.B. ein „Feh­ler­vo­ka­bel­heft“ füh­ren, in das sie links den Feh­ler und rechts die Ana­ly­se no­tie­ren.

Eine gute Mög­lich­keit einer per­sön­li­chen Aus­ein­an­der­set­zung mit ei­ge­nen Feh­lern bie­tet die Klas­sen­ar­beits­ver­bes­se­rung, die ich nach fol­gen­dem Mus­ter an­fer­ti­gen lasse:

  • Jeder am Rand mar­kier­te Feh­ler muss vom Schü­ler selbst (mit Blei­stift) kom­men­tiert wer­den. Der Schü­ler schreibt also bei­spiels­wei­se unter das Rf-Zei­chen „Punkt-vor-Strich“ (würde ich die­sen Kom­men­tar schrei­ben, hätte der Schü­ler weit we­ni­ger davon).
  • Jeder Schü­ler sucht sich zu­sätz­lich eine Teil­auf­ga­be aus, in der er den aus sei­nerr Sicht är­ger­lichs­ten, weit­rei­chends­ten oder ver­meid­bars­ten Feh­ler ge­macht hat und ana­ly­siert die­sen schrift­lich bis ins De­tail nach fol­gen­dem Mus­ter (die Rei­hen­fol­ge ist dabei nicht un­wich­tig, weil zu­erst Kon­troll­me­cha­nis­men ver­langt wer­den, bevor die klas­si­sche Ver­bes­se­rung er­folgt):
    • Warum habe ich die­sen Feh­ler ge­macht? Was habe ich mir dabei ge­dacht?
    • Wie kann ich mir klar­ma­chen, dass mein Er­geb­nis falsch sein muss bzw. dass ein an­de­res rich­tig sein muss?
    • Was habe ich genau falsch ge­macht? Wie hätte es rich­tig sein müs­sen?
    • Wie kann ich die­sen Feh­ler in Zu­kunft ver­mei­den?

 

wei­ter mit Rück­bli­cken­des Struk­tu­rie­ren des Wis­sens