Aus­sa­gen­lo­gik

Aus­sa­gen, Ver­knüp­fun­gen und Wahr­heits­ta­feln

In der Aus­sa­gen­lo­gik ver­steht man unter einer Aus­sa­ge einen sprach­li­chen oder for­ma­len Aus­druck, dem man genau einen der bei­den mög­li­chen Wahr­heits­wer­te (w: wahr, f: falsch) zu­ord­nen kann.
Die Ne­ga­ti­on (Ver­nei­nung) einer Aus­sa­ge a wird mit ¬a ("nicht" a) be­zeich­net und kehrt den Wahr­heits­ge­halt der Aus­sa­ge um: ¬a ist genau dann wahr, wenn a falsch ist und um­ge­kehrt. Rechts ist die zu­ge­hö­ri­ge Wahr­heits­ta­fel (Wahr­heits­wert­ta­bel­le) zu sehen.

 

Aus­sa­gen be­zeich­net man mit Aus­sa­ge­va­ria­blen wie z.B.

1. Ich bin krank.
2. Ich gehe zum Arzt.
3. Der Arzt kommt zu mir.

Man un­ter­schei­det zwi­schen ele­men­ta­ren (ato­ma­ren) und zu­sam­men­ge­setz­ten (ver­knüpf­ten) Aus­sa­gen. Die Art der lo­gi­schen Ver­knüp­fung be­schreibt man mit Ope­ra­to­ren (Junk­to­ren), was hier nur für die vier grund­le­gen­den Ver­knüp­fun­gen aus­ge­führt wer­den soll:

 

Hin­weis: Hier wer­den nicht die Aus­sa­gen ver­knüpft, son­dern ihre Wahr­heits­wer­te! Trotz­dem spricht man an­schau­lich von der Ver­knüp­fung von Aus­sa­gen. Mit Wahr­heits­ta­feln las­sen sich diese Ver­knüp­fun­gen über­sicht­lich dar­stel­len:

 

Auf der lin­ken Seite (hier links vom Dop­pel­strich) gibt man die ato­ma­ren Aus­sa­ge­va­ria­blen und alle mög­li­chen Kom­bi­na­tio­nen ihrer Wahr­heits­wer­te vor. Rechts wer­den dann in je­weils einer ei­ge­nen Spal­te die Wahr­heits­wer­te der be­trach­te­ten Aus­sa­gen ein­ge­tra­gen. Im Falle von zwei Va­ria­blen sind wie hier vier Zei­len nötig, mit jeder wei­te­ren Va­ria­ble ver­dop­pelt sich die er­for­der­li­che Zei­len­an­zahl, bei n Va­ria­blen sind 2ⁿ Zei­len er­for­der­lich.

Neben den oben auf­ge­führ­ten Ver­knüp­fun­gen kön­nen wei­te­re ein­ge­bun­den wer­den.
Eine Über­sicht fin­det man in der Datei  M9au­g01a_16Ver­k­nue­pfun­gen.odt.
 

Die Dis­junk­ti­on – Hin­wei­se zum ein- und aus­schlie­ßen­den "oder"

Neben den vier im Bil­dungs­plan ge­for­der­ten Ver­knüp­fun­gen ist hier zu­sätz­lich die Wahr­heits­ta­fel der Kon­tra­va­lenz a ⊕ b auf­ge­führt, deren Be­hand­lung für die Be­griffs­bil­dung zu den an­de­ren Ver­knüp­fun­gen vor­teil­haft ist ² .Ei­ner­seits kann sie als Ne­ga­ti­on der Bi­junk­ti­on (bzw. der Äqi­va­lenz) zu einer ver­tief­ten Durch­drin­gung bei­tra­gen ³.An­de­rer­seits muss die Dis­junk­ti­on ("a oder b") deut­lich von der Kon­tra­va­lenz ("ent­we­der a oder b") ab­ge­grenzt wer­den, da das Bin­de­wort "oder" in der Um­gangs­spra­che so­wohl in ein- als auch aus­schlie­ßen­der Be­deu­tung ver­wen­det wird:

 

Um der Mehr­deu­tig­keit zu be­ge­ge­nen, die im All­tag durch das Ne­ben­ein­an­der von ein- und aus­schlie­ßen­dem "oder" be­steht, wird die Dis­junk­ti­on im Un­ter­richts­gang durch ihre Wahr­heits­ta­fel de­fi­niert, bevor die Un­ter­schie­de zur Kon­tra­va­lenz aktiv the­ma­ti­siert wer­den.
 

Die Sub­junk­ti­on – Not­wen­di­ge und hin­rei­chen­de Be­din­gun­gen

Bei der Ein­füh­rung der Bi­junk­ti­on sind keine Pro­ble­me zu er­war­ten, da die SuS hier eine in­tui­ti­ve trag­fä­hi­ge Vor­stel­lung der Gleich­heit mit­brin­gen. Bei der Sub­junk­ti­on ver­hält sich das an­ders. Bei der Un­ter­richts­pla­nung muss be­rück­sich­tigt wer­den, dass die De­fi­ni­ti­on der Sub­junk­ti­on kon­train­tui­tiv ist und sich die Zu­sam­men­hän­ge erst schritt­wei­se er­schlie­ßen las­sen. Daher er­folgt die Ein­füh­rung der Sub­junk­ti­on in die­ser Ein­heit auch nicht gleich­zei­tig mit den an­de­ren Ver­knüp­fun­gen, son­dern erst in der drit­ten Stun­de nach der Ein­füh­rung von Kon­junk­ti­on, Dis­junk­ti­on und Bi­junk­ti­on ⁴. 

Aus der Wahr­heits­ta­fel ent­nimmt man, dass eine Sub­junk­ti­on a → b nur genau dann falsch ist, wenn die Vor­aus­set­zung a wahr und die Be­haup­tung b falsch ist. Diese Vor­stel­lung liegt auch der De­fi­ni­ti­on der Sub­junk­ti­on in der Un­ter­richts­ein­heit zu­grun­de und spielt eine zen­tra­le Rolle bei der Be­griffs­bil­dung.

Die Sub­junk­ti­on a→b (im eng­li­schen Sprach­raum auch a ⊃ b) wird als ma­te­ria­le Im­pli­ka­ti­on oder Kon­di­tio­nal be­zeich­net. Falls die Aus­sa­ge a → b wahr ist, dann ist die Wahr­heit von a eine hin­rei­chen­de Be­din­gung für die Wahr­heit von b. Die­ser Zu­sam­men­hang lässt sich je nach Per­spek­ti­ve un­ter­schied­lich for­mu­lie­ren ⁵

Dass b genau dann not­wen­dig für a ist, wenn a hin­rei­chend für b ist, kann auf den ers­ten Blick über­ra­schen, ist aber bei ge­naue­rer Be­trach­tung ein­leuch­tend. Wenn a hin­rei­chend für b ist, zieht die Wahr­heit von a die Wahr­heit von b nach sich. Daher kann a nicht ein­tre­ten, ohne dass b ein­tritt, die Wahr­heit von b ist also „not­wen­dig“ für die Wahr­heit von a ⁷. Ei­ner­seits soll­te im Un­ter­richt an All­tags­bei­spie­len das Aus­blen­den kau­sa­ler und tem­po­ra­ler Zu­sam­men­hän­ge ex­pli­zit the­ma­ti­siert wer­den. An­der­seits kön­nen inn­er­ma­the­ma­ti­sche Bei­spie­le hilf­reich sein, um zen­tra­le Ideen her­aus­zu­ar­bei­ten.Dazu noch zwei Bei­spie­le: ⁸

1. "Dass eine Schei­be zer­bricht, ist not­wen­dig dafür, dass ich einen Stein hin­durch­wer­fe"
   Einen Stein durch eine Schei­be zu wer­fen ist hin­rei­chend dafür, dass diese zer­bricht, aber nicht not­wen­dig, da sie auch aus an­de­ren Grün­den zer­bre­chen könn­te. An­de­rer­seits ist es dafür, dass ich einen Stein durch die Schei­be werfe, not­wen­dig, dass die Schei­be zer­bricht.
   Ich kann den Stein nicht durch die Schei­be wer­fen, ohne dass dies ge­schieht.
2. Die Teil­bar­keit durch 6 ist hin­rei­chend für die Teil­bar­keit durch 3. Um­ge­kehrt ist die Teil­bar­keit durch 3 not­wen­dig für die Teil­bar­keit durch 6, aber nicht hin­rei­chend.
    

"Wenn a, dann b" – mehr­deu­ti­ge For­mu­lie­run­gen

In einer Sub­junk­ti­on / einem Kon­di­tio­nal nennt man a das An­te­ze­dens, b das Kon­se­quens oder Suk­ze­dens. Mit dem um­gangs­sprach­li­chen „wenn … dann“ möch­te man fast immer einen in­halt­li­chen (kau­sa­len oder auch tem­po­ra­len) Zu­sam­men­hang zwi­schen An­te­ze­dens und Kon­se­quens aus­drü­cken. Dies wird auch am Ein­gangs­bei­spiel deut­lich: Regen ver­ur­sacht Stra­ßen­näs­se, erst fällt der Regen, dann wird die Stra­ße nass. Wenn SuS die hin­rei­chen­de Be­din­gung falsch ver­ste­hen und einen kau­sa­len oder tem­po­rä­ren Zu­sam­men­hang sehen, dann ist es klar, dass die um­ge­kehr­te Rich­tung „Nur wenn die Stra­ße nass ist, dann kann es reg­nen“ Pro­ble­me be­rei­ten kann. Die Sub­junk­ti­on (oder ma­te­ria­le Im­pli­ka­ti­on) be­sagt aber letzt­lich nur: "Wenn die Aus­sa­ge a wahr ist, dann ist auch die Aus­sa­ge b wahr" – ohne kau­sa­le oder tem­po­ra­le Zu­sam­men­hän­ge. 

Die For­mu­lie­rung "Wenn a, dann b“ ist also un­güns­tig, da sie im Deut­schen mehr­deu­tig ist. Sie wird um­gangs­sprach­lich nicht für ma­te­ria­le (wahr­heits­funk­tio­na­le), son­dern mehr­heit­lich für in­halt­li­che (kau­sa­le oder zeit­li­che) Zu­sam­men­hän­ge  ver­wen­det. Zwi­schen der ma­te­ria­len Im­pli­ka­ti­on und dem um­gangs­sprach­li­chen „wenn …, dann ...“ muss daher im Un­ter­richt genau un­ter­schie­den wer­den. Dazu soll­te man die oben auf­ge­führ­ten For­mu­lie­run­gen häu­fi­ger wech­seln, um Miss­ver­ständ­nis­se  zu ver­mei­den, die aus den vie­len Be­deu­tun­gen des deut­schen „wenn …, dann …“ re­sul­tie­ren kön­nen.

Ken­neth H. Rosen bringt au­ßer­dem noch die Sicht­wei­se eines "Ver­tra­ges" ins Spiel, um hilf­rei­che Vor­stel­lun­gen zur Sub­junk­ti­on zu mo­ti­vie­ren, indem man den kon­di­tio­na­len Cha­rak­ter einer Aus­sa­ge be­tont ⁹ . Als Bei­spiel führt er die Aus­sa­ge eines Po­li­ti­kers an, der im Wahl­kampf ver­spricht: "Wenn ich ge­wählt werde, dann werde ich die Steu­ern sen­ken."
Stellt man sich diese Aus­sa­ge im Kon­text eines bin­den­den Ver­tra­ges vor, so wer­den die Wäh­ler nur dann er­war­ten, dass der Po­li­ti­ker die Steu­ern senkt, wenn er ge­wählt wird. Seine Aus­sa­ge wird nur dann falsch, wenn er ge­wählt würde und die Steu­ern nicht sen­ken würde.  

Im­pli­ka­ti­on und Äqui­va­lenz als Tau­to­lo­gi­en

In der Aus­sa­gen­al­ge­bra wer­den ver­knüpf­te Aus­sa­gen auf All­ge­mein­gül­tig­keit un­ter­sucht. Aus­sa­gen­lo­gi­sche Terme wie z.B. (p ∨¬p) , die für jede mög­li­che Ein­set­zung von Wahr­heits­wer­ten wahr sind, nennt man all­ge­mein­gül­tig und be­zeich­net sie als Tau­to­lo­gi­en.
Hier­zu zwei Bei­spie­le¹⁰ .

 

Mit­hil­fe von Wahr­heits­ta­feln wer­den alle mög­li­chen Fälle (Kom­bi­na­tio­nen der Wahr­heits­wer­te der Va­ria­blen) durch­ge­spielt, um wie hier die All­ge­mein­gül­tig­keit einer Aus­sa­ge nach­zu­wei­sen.

An den Bei­spie­len wird gleich­zei­tig der Un­ter­schied zwi­schen Sub­junk­ti­on und Im­pli­ka­ti­on sowie Bi­junk­ti­on und Äqui­va­lenz deut­lich:
Wenn eine Bi­junk­ti­on all­ge­mein­gül­tig ist, dann spricht man von einer Äqui­va­lenz und ver­wen­det als Sym­bol das Zei­chen "⇔".  Eine all­ge­mein­gül­ti­ge Sub­junk­ti­on wird als Im­pli­ka­ti­on be­zeich­net und for­mal mit dem Sym­bol  "⇒" aus­ge­drückt.

Diese Sicht­wei­se liegt dem Bil­dungs­plan und damit auch die­ser Ein­heit zu­grun­de. Ei­ni­ge Au­to­ren sind an­de­rer Auf­fas­sung und un­ter­schei­den nicht mehr zwi­schen Sub­junk­ti­on und Im­pli­ka­ti­on. Daher ist die Ver­wen­dung der Sym­bo­le für die Junk­to­ren auch nicht ein­heit­lich.

Eine Im­pli­ka­ti­on oder Äqui­va­lenz kann dann eben auch falsch sein und ist nicht per se all­ge­mein­gül­tig. Wel­che Def­in­ti­on der Im­pli­ka­ti­on bzw. Äqui­va­lenz zu­grun­de­ge­legt wurde, er­gibt sich dann meis­tens di­rekt aus dem Zu­sam­men­hang.

Die­ser Un­ter­schied ist auch der Grund dafür, dass beim vor­lie­gen­den Um­set­zungs­vor­schlag der Be­griff "Bi­junk­ti­on" ein­ge­führt wird, ob­wohl er im Bil­dungs­plan nicht vor­ge­se­hen ist. Da die Sub­junk­ti­on als "ak­ti­ver" Fach­be­griff ge­kenn­zeich­net ist und sich dar­aus zwangs­läu­fig die Ab­gren­zung zur Im­pli­ka­ti­on er­gibt, soll­te kon­se­quen­ter­wei­se auch die Bi­junk­ti­on von der Äqui­va­lenz ab­ge­grenzt wer­den. 

Boo­le­sche Al­ge­bren

Die auf­fal­len­de Gleich­ar­tig­keit so ver­schie­de­ner Ver­knüp­fungs­ge­bil­de wie Aus­sa­gen­al­ge­bra, Men­ge­nal­ge­bra oder Schal­tal­ge­bra füh­ren zu einem ge­mein­sa­men über­ge­ord­ne­ten ma­the­ma­ti­schen Ge­bil­de, das Boo­le­sche Al­ge­bra bzw. Boo­le­scher Ver­band ge­nannt wird. Ein Boo­le­scher Ver­band (B,+, ·,¬) ist eine abs­trak­te Struk­tur, bei der auf einer Trä­ger­men­ge B zwei zwei­stel­li­ge Ver­knüp­fun­gen "+" und "·" mit vor­ge­ge­be­nen Ei­gen­schaf­ten und eine ein­stel­li­ge Ver­knüp­fung "¬" de­fi­niert sind.
Als Sym­bol für die Ne­ga­ti­on wird neben dem Zei­chen "¬" oft auch der Über­strich "¯ " ver­wen­det. Für die zwei­stel­li­gen Ver­knüp­fun­gen wer­den häu­fig die glei­chen Sym­bo­le "+" und "·" wie in un­se­rer ge­wohn­ten Re­chen­al­ge­bra ver­wen­det, ihnen wer­den aber bei der Boo­le­schen Al­ge­bra keine der mög­li­chen Be­deu­tun­gen – lo­gi­scher, ma­the­ma­ti­scher oder rea­ler Art – zu­ge­schrie­ben, sie wer­den be­deu­tungs­frei ver­wen­det:

 

Aus­sa­gen­al­ge­bra, Men­ge­nal­ge­bra oder Schal­tal­ge­bra sind kon­kre­te In­ter­pre­ta­tio­nen bzw. Mo­del­le der Boo­le­schen Al­ge­bra. Zu­nächst soll all­ge­mein de­fi­niert wer­den, was man unter der Boo­le­schen Al­ge­bra (B,+, ·,¬ ) ver­steht, bevor im über­nächs­ten Ab­schnitt auf die spe­zi­el­le Boo­le­sche Al­ge­bra über der Trä­ger­men­ge B={0,1} ein­ge­gan­gen wird.

Fuß­no­ten

¹ Syn­onym zum Be­griff Kon­tra­va­lenz wer­den auch fol­gen­de Be­zeich­nun­gen ver­wen­det: "aus­schlie­ßen­des Oder", "aus­schlie­ßen­de Dis­junk­ti­on" (auch voll­stän­di­ge oder an­ti­va­len­te Dis­junk­ti­on), "Bi­sub­trak­ti­on", "An­ti­va­lenz", "kon­tra­dik­to­ri­scher Ge­gen­satz", "Kon­tra­junk­ti­on" oder "Al­ter­na­ti­on", vgl. Vgl. Wi­ki­pe­dia: Ar­ti­kel "Kon­tra­va­lenz", URL: https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Kon­tra­va­lenz (ab­ge­ru­fen am 17.3.2019).

² Die Be­deu­tung der Kon­tra­va­lenz in der Logik ist eher ge­ring. In der Schal­tal­ge­bra hat sie als XOR-Ver­knüp­fung hin­ge­gen große Be­deu­tung. Im Un­ter­richts­gang wird daher das Junk­tor­sym­bol "⊕" nicht ein­ge­führt und nur auf  das Lo­gik­gat­ter "XOR" hin­ge­wie­sen. Es gibt aber auch (v.a. im engl. Sprach­raum) aus­sa­gen­lo­gi­sche Kon­zep­te, bei denen die Kon­tra­va­lenz von Be­ginn an mit einem ei­ge­nen Junk­tor­sym­bol ein­ge­bun­den wird, vgl.  [ROS], S. 6/7

³ Zahl­rei­che An­re­gun­gen hier­zu fin­det man in der Be­schrei­bung des Un­ter­richts­gan­ges.

⁴ Ein mög­li­ches Vor­ge­hen ist in der Datei M9au­g02_­un­ter­richts­ver­lauf.odt aus­führ­lich be­schrie­ben.

⁵ Vgl. Wi­ki­pe­dia: Seite „Aus­sa­gen­lo­gik", URL: https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Aus​sage​nlog​ik (ab­ge­ru­fen: 15.03.2019)

⁶ Hin­wei­se zum Un­ter­schied zwi­schen Sub­junk­ti­on und Im­pli­ka­ti­on fol­gen im über­nächs­ten Ab­schnitt.

⁷ Vgl. wi­ki­pe­dia, Er­läu­te­run­gen auf der Seite  "Aus­sa­gen­lo­gik", ab­ge­ru­fen am 15.3.2019), URL: https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Aus​sage​nlog​ik#​Hin​reic​hend​e_​und_​not­wen­di­ge_​Be­din­gung  (ab­ge­ru­fen: 15.3.2019).

⁸ Vgl. [AHR], S. 23

⁹ Vgl. [ROS], S.6, 7

¹⁰ aus den Un­ter­richts­ma­te­ria­li­en, vgl. Datei  M9au­g03_­sub­_imp.odt, Auf­ga­be 4.

Hin­ter­grund: Her­un­ter­la­den [odt][601 KB]

Hin­ter­grund: Her­un­ter­la­den [pdf][698 KB]

Wei­ter zu Boo­le­sche Al­ge­bren