Ein Zau­ber­trick: Bezug zur Auf­ga­be 1

Der Zau­be­rer mischt 13 Kar­ten so, dass nur er die obers­te Karte des Sta­pels kennt. Nun lässt er einen Zu­schau­er eine Zahl k zwi­schen 1 und 10 wäh­len. Der Zau­be­rer (oder ein Zu­schau­er) sor­tiert nun nach und nach immer die obers­te Karte des Sta­pels nach ganz unten (ohne ihren Wert zu be­trach­ten) und zwar genau k Mal. Die dann oben lie­gen­de Karte dreht er um. Dies wie­der­holt man so lange, bis nur noch eine Karte nicht um­ge­dreht auf dem Sta­pel liegt. Diese Karte wird wäh­rend des Vor­gan­ges vom Zau­be­rer vor­her­ge­sagt – es ist die (nur) ihm be­kann­te Karte, die zu Be­ginn ganz oben auf dem Sta­pel lag.

Warum ist das so?

Die Ma­the­ma­tik dazu ent­de­cken die Schü­le­rin­nen und Schü­ler in Auf­ga­be 1. Die Zahl 13 ist eine Prim­zahl, also auf jeden Fall teiler­fremd zur ge­wähl­ten Zahl k. Somit wer­den si­cher alle Zah­len durch­lau­fen (vgl. Auf­ga­be 1), d.h. hier alle Kar­ten um­ge­dreht. Die erste Karte wird dabei erst­mals nach kgV(k;13)-ma­li­gem „Nach-hin­ten-Blät­tern einer Karte“ wie­der er­reicht. Bei teiler­frem­den Zah­len ist dies aber

, d.h. beim 13.​ten Mal k Kar­ten nach hin­ten Blät­tern – somit wur­den in den 12 mal zuvor alle an­de­ren Kar­ten um­ge­dreht.   

 

Kon­gru­en­zen und be­son­de­re Zah­len: Her­un­ter­la­den [odt][526 KB]

 

Wei­ter zu Kon­gru­en­zen bei Co­die­run­gen