Grafische Modellierung mithilfe abschnittsweise linearer Funktionen
Profile und Umrisse von krummlinigen Objekten können mithilfe der Schaubilder von (mehreren) abschnittsweise linearen Funktionen approximiert dargestellt werden. Dabei kann man sich sicher sein, dass die Approximation im Normalfall besser wird, wenn man die Intervalle einer ersten Approximationsfunktion noch weiter unterteilt. Je mehr Intervalle verwendet werden, umso größer ist jedoch der Aufwand, um die Funktion zu speichern und zu verarbeiten. Dementsprechend muss ein Augenmerk darauf gelegt werden, möglichst wenige Intervalle geschickt zu verwenden. Dazu ist eine stur äquidistante Unterteilung in den meisten Fällen nicht geeignet. Neben der zuvor kennengelernten Thematik, abschnittsweise lineare Funktionen zu definieren, kommt nun also ein weiterer Aspekt hinzu: Wie unterteilt man die Intervalle passend zu vorgegebenen Kriterien so, dass diese erfüllt werden und dabei möglichst wenige Intervalle entstehen. Das ist das Ziel der zweiten Hälfte dieser achtstündigen Einheit.
Geeignete Stützpunkte zur Approximation mithilfe abschnittsweise linearer Funktionen ermitteln und verwenden (Stunden 5 – 6)
In den folgenden beiden Unterrichtsstunden werden die Schülerinnen und Schüler zunächst ihre Kenntnisse zu abschnittsweise linearen Funktionen um den Begriff der Stützpunkte erweitern. Dabei wird von Beginn an eine Beschränkung auf solche Funktionen durchgeführt die keine Sprungstellen beinhalten. Sprungstellen würden den Aufwand an dieser Stelle ohne bemerkenswerten Mehrwert vergrößern und damit den zeitlichen Rahmen unnötig beanspruchen. Insbesondere für das Ziel Objektumrisse zu approximieren, spielen Sprungstellen keine entscheidende Rolle 2.
Der Infotext und die Aufgabe 1 des AB 02-fis_Stützpunkte führen die Stützpunkte zunächst als mathematische Objekte ein, mit deren Hilfe man abschnittsweise lineare Funktionen festlegen kann. Im Anschluss daran findet man mit Aufgabe 2 bereits eine erste Anwendung zur Modellierung einer zweidimensionalen Abbildung, bevor auf Seite 2 weitere Umrisse approximiert werden sollen. Hier wird erstmals die Grundidee verankert, den Speicherbedarf durch möglichst wenige, geschickt gewählte Stützpunkte niedrig zu halten. Sie wird hier jedoch nur als „Aufhänger“ für die Think-Pair-Share-Phase verwendet. Eine detailliertere Besprechung wird im vorgeschlagenen Unterrichtsgang erst in der folgenden Stunde 7 stattfinden. Dabei handelt es sich jedoch um eine Art „Henne-Ei-Problematik“, das heißt es ist durchaus denkbar, die ausführliche Motivation im Sinne der Seite 1 des AB 03-fis_Schrittweitensteuerung bereits hier einzubinden. Dementsprechend sind die Grenzen zwischen den Stunden 5 – 6 und 7 – 8 auch als fließend zu verstehen.
Erfassung von Objektumrissen mithilfe von Schrittweitensteuerungen (Stunden 7 – 8)
Nachdem die Schülerinnen und Schüler die Stützpunkte als Möglichkeit kennenlernten, die Schaubilder von abschnittsweise linearen Funktionen festzulegen, zielte die Think-Pair-Share-Phase (AB 2-fis_Stützpunkte, Seite 2) bereits auf die Erkenntnis, dass eine automatisierte Stützpunktbestimmung für beliebige Objekte wünschenswert und sinnvoll ist. Eine solche Automatisierung kann mithilfe einer einfachen Schrittweitensteuerung erfolgen. Zwei Varianten solcher Schrittweitensteuerungen finden Sie auf den Arbeitsblättern 03-fis_Schrittweitensteuerung-Alternative1 und 03-fis_Schrittweitensteuerung-Alternative2 . Hierbei handelt es sich bereits um eine deutliche Verbesserung gegenüber der Aufnahme von Stützpunkten mit äquidistanten Schrittweiten, dennoch haben sie Mängel. So werden zum Beispiel steile lineare Anstiege von ihr nicht als solche erkannt (da die Krümmung der Kurve nicht in die Schrittweitensteuerung einfließt) und somit durch die Aufnahme vieler Stützpunkte „überbestimmt“.
Zur Unterscheidung der beiden Alternativen
Alternative 1 nimmt jeweils Punkte auf und behält diese auch und fügt gegebenenfalls Zwischenwerte ein. Das ist für die Erzeugung von Stützwerten von Hand gut geeignet, da keine Punkte gestrichen werden müssen. Man erhält schließlich eine Liste von (unsortierten) Punkten, deren automatisierte Sortierung im Informatikunterricht besprochen wird und von daher den Schülerinnen und Schülern wahrscheinlich schon bekannt ist. Die Implementierung in Scratch oder einer Programmierumgebung kann dagegen etwas kompliziert sein. Ein Umsetzungsbeispiel dazu finden Sie im Ordner 4-Lösungen in der Scratch-Datei 03-schrittweitensteuerung-ohne-t_u-alternative1.sb2. Die Alternative 2 geht dagegen so vor, dass sie stets die neueste erzeugte Stützstelle verwirft, wenn die obere Toleranzgrenze überschritten und die minimale Schrittweite noch nicht unterschritten wurde. Dann wird die Schrittweite halbiert und erneut eine Stützstelle erzeugt. Diese Alternative streicht unter Umständen sehr viele Werte, was „von Hand“ recht ärgerlich sein kann, ist aber dafür recht einfach zu implementieren.
Der grundsätzliche Aufbau der Arbeitsblätter ist aber in beiden Alternativen gleich. Auf Seite 1 findet man zunächst die zuvor bereits erwähnte ausführliche Darstellung wozu Approximationen über Funktionsabschnitte gut sind. Dazu wird die Methode der Rasterung von Bildern (sog. Rastergrafiken) dieser neuen Methode (die zum Bereich der Vektorgrafiken gehört) gegenübergestellt und die Vorteile aufgezeigt. Außerdem wird hier die im Bildungsplan verankerte Idee der Triangulierung von räumlichen Oberflächen beschrieben.
Auf Seite 2 und 3 wird dann die jeweilige Schrittweitensteuerung erklärt. Für die Schülerinnen und Schüler wird die Erklärung dieser „einfachen“ Schrittweitensteuerung wahrscheinlich nicht „einfach“ zu lesen sein. Um eine Überforderung zu vermeiden sollte sie daher im Normalfall nicht als Grundlage zur Stillarbeit dienen. Besser geeignet ist hier sicherlich die Methode einer recht eng geführten fragengestützten Entwicklung der Schrittweitensteuerung im Plenum. Dabei ist es empfehlenswert, Theorie (insbesondere die in der Schrittweitensteuerung verwendeten Parameter) und Beispielrechnungen eng verzahnt Stück für Stück zu erarbeiten.
Nach erfolgter gemeinsamer Durchdringung sind die Schülerinnen und Schüler bereits in der Lage, Objekte ihrer Wahl mithilfe dieser Schrittweitensteuerung zu „vermessen“ und dadurch nach ihren Gütekriterien ausreichend gut mithilfe abschnittsweise linearer Funktionen zu approximieren. Dies kann(!) mit der ersten Übung anhand eines Schattenbildes geschehen. Diese erste Übung lässt sich sehr gut auch ausbauen, indem man die „von Hand“ erzeugten Werte in Geogebra überträgt, als Punkte darstellt und diese stückweise linear verbindet. Dieses Schattenbild lässt sich mit den Drehbefehlen ganz einfach in die Vertikale drehen oder auch parametrisieren und so verschieben. Als Beispiel dazu zeigt die Datei 4-Loesungen/Schattenbild.ggb eindrucksvoll auf, wie das Schattenbild „zum Leben“ erweckt wird 3. Je nachdem, ob und wie umfangreich man diese Aufgabe einsetzt, sind die folgenden Aufgaben zu kürzen bzw. wegzulassen.
Aufgabe 1 auf Seite 5 des AB 03-fis_Schrittweitensteuerung beinhaltet Alternativ oder als Ergänzung zu den ersten „Gehversuchen“ mit dem Schattenbild die motivierende Aufgabenstellung, einen Umriss nach Wahl zu vermessen um diesen dann durch Funktionen modellierend darzustellen. Auf dem AB wurde dies anhand des selbstgemachten Fotos einen Spielzeuges (Kuscheltier, Auto, …) nach Wahl der Schülerinnen und Schüler vorgeschlagen. Je nach Entwicklungsstand kann dies nicht den „Geschmack“ der Schülerinnen und Schüler treffen. Man kann hier daher selbstverständlich auch andere Umrisse (Actionhelden, Musikinstrumente, Haustiere, …) zulassen.
Diese Aufgabe kann schließlich mithilfe des Aufgabenteils e*.) in ein fachübergreifendes Projekt münden. Hierfür werden die Zeitvorgaben jedoch nicht reichen. Es ist also zuvor zu überlegen, in welchem zeitlichen Rahmen das Projekt stattfinden kann und soll. Beispielsweise könnte es fächerverbindend mit der Informatik oder als Mathematik-Projekt für Projekttage / GFS-Hausarbeit / … angelegt werden. Wenn es im Unterricht im Rahmen eines – sicherlich lohnenswerten – sogenannten „Kurzprojektes“ in Gruppen erfolgen soll, wird man hierfür ca. vier Unterrichtsstunden einplanen müssen (vgl. Höf 2005).
Im Gegensatz zur Anwendung der Schrittweitensteuerung in Aufgabe 1 widmet sich Aufgabe 2 der Analyse der Funktionsweise der beschriebenen Schrittweitensteuerung. So soll diese übersichtlich und gut strukturiert dargestellt (z.B. mithilfe eines Flussdiagramms), die Wirkung der Parameter erklärt, eine Erweiterung ausgedacht und – als *-Aufgabe – auf Schwachstellen hin untersucht und verbessert werden.
Die angebotene Reihenfolge dieser beiden Aufgaben 1 und 2 hat Vor-, aber auch Nachteile. Der Vorteil ist, dass die Schülerinnen und Schüler nach Bearbeitung von Aufgabe 1 die Schrittweitensteuerung selbst durchlebt und somit intensiv kennengelernt haben. Noch dazu ist zur Bearbeitung von Aufgabe 2 eine umfassende Kenntnis der Schrittweitensteuerung unerlässlich. Zusammen betrachtet ergibt sich daher zunächst ein Vorteil dieser Reihenfolge. Die Phase zur Bearbeitung der Aufgabe 1 ist jedoch aus der Aufgabenstellung heraus sehr offen gestaltet und somit zeitlich schwer kalkulierbar. Wenn die Lehrkraft also das Gefühl hat, dass die Schülerinnen und Schüler nach der gemeinsamen Erarbeitung (an ein oder mehreren ersten Beispielen) der Schrittweitensteuerung diese gründlich kennengelernt haben, so ist ein Tausch der Reihenfolge sicherlich günstig. Aufgabe 2 ist zeitlich abgeschlossen und kann eventuell sogar als Hausaufgabe gestellt werden. Die anschließend verbleibende Zeit kann dann vollständig zur Bearbeitung von Aufgabe 1 verwendet werden – ohne dass „danach“ noch etwas unterrichtet werden müsste. Sie dient dann als schöner Abschluss, der eventuell nur noch durch das gemeinsame Betrachten eines der zahlreich verfügbaren computeranimierten Kurzfilme als „Ausblick“ auf weitere Anwendungsfelder abgerundet werden kann.4
2 Falls der Wunsch dazu in einer Klasse aufkommt, spricht bei entsprechend zeitlichen Ressourcen nichts gegen eine zusätzliche Erweiterung auf solche Objekte (z.B. mit senkrechten Kanten). Da die Zeit erwartungsgemäß meistens nicht vorhanden sein wird, wird hierfür jedoch kein Material bereitgestellt.
3 Die Realisierung erfolgte hier über komplexe Zahlen, ist also nur zu Demonstrationszwecken geeignet und nicht als Musterlösung von Schülerinnen und Schülern zu erwarten.
4 Käuflich erwerbbar sind beispielsweise Kurzfilmkollektionen von Pixar. Der Kurzfilm „TinToy“ dieser Firma ist beispielsweise der erste computeranimierte Kurzfilm, der einen Oscar in der Kategorie „Bester animierter Kurzfilm“ erhielt. Zuvor war dies nicht-computeranimierten Filmen (z.B. Zeichentrickfilmen) vorbehalten.
Unterrichtsgang: Herunterladen [odt][105 KB]
Weiter zu Kurzer fachlicher Überblick