Abgrenzung der Aussagenalgebra von der elementaren Algebra

Zusammengesetzte Aussagen können als zweistellige Wahrheitsfunktionen aufgefasst werden. Die Konjunktion x ∧ y zweier Aussagen entspricht dabei der Multiplikation der zugehörigen Wahrheitswerte, die Disjunktion x ∨ y der Addition, die Negation ¬ x der Subtraktion 1-x. Für die Operationen ∧ , ∨ , ¬ und beliebige Aussagen gelten die aus der Algebra bekannten Gesetze: das Kommutativ-, das Assoziativgesetz und sogar zwei Distributivgesetze. Außerdem existieren neutrale Elemente und zusätzlich  zu jedem Element Komplemente (inverse Elemente) bezüglich der beiden definierten Verknüpfungen.

Die folgende Übersicht zeigt die Unterschiede der geltenden Gesetze in der Booleschen und der elementaren Algebra:

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

In der gewohnten arithmetischen Algebra gilt das Dualitätsprinzip nicht, insbesondere gibt es keine Komplementbildung und es gilt kein zweites Distributivgesetz. Die grau hinterlegten Flächen markieren diese Unterschiede.

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