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His­to­ri­sche An­mer­kun­gen zur Boo­le­schen Al­ge­bra

Den Namen Boo­le­sche Al­ge­bra (engl. boo­le­an al­ge­bra) präg­te Henry Mau­rice Shef­fer (1882-1964) erst 1913. Die An­fän­ge der boo­le­schen Al­ge­bra gehen auf Ge­or­ge Boole (1815-1864) zu­rück, der mit sei­nem Lo­gik­kal­kül von 1847 erst­mals al­ge­brai­sche Me­tho­den in der Klas­sen­lo­gik und Aus­sa­gen­lo­gik an­wand­te. Die grund­le­gen­de Idee, alle in der for­ma­len Logik auf­tre­ten­den Be­grif­fe durch Sym­bo­le zu er­set­zen, war schon an­de­ren vor Boole ge­kom­men, aber er war der erste, der ein prak­ti­ka­bles Sys­tem schuf.30

In sei­nem Haupt­werk An in­ves­ti­ga­ti­on into the Laws of Thought, on Which are foun­ded the Ma­the­ma­ti­cal Theo­ries of Logic and Pro­ba­bi­li­ties aus dem Jahr 1854 führ­te er die An­sät­ze von 1847 aus und stell­te sie sys­te­ma­tisch dar. Der Titel macht deut­lich, dass Boole auch schon die enge Ver­bin­dung von Aus­sa­gen­al­ge­bra und Sto­chas­tik er­kann­te, die An­wend­bar­keit lo­gi­scher Ge­set­ze auf das Rech­nen mit  Wahr­schein­lich­kei­ten, die dann auch Werte zwi­schen den Wahr­heits­wer­ten 0 und 1 an­neh­men.31

Ihre heu­ti­ge Form ver­dankt die Boo­le­sche Al­ge­bra der Wei­ter­ent­wick­lung durch Ma­the­ma­ti­ker wie John Venn (1834-1923), Wil­li­am Stan­ley Je­vons (1835-1882), Charles Peir­ce (1839-1814), Ernst Schrö­der (1841-1902) und Giu­sep­pe Peano (1858-1932).
In Boo­les ori­gi­na­ler Al­ge­bra ent­spricht die Mul­ti­pli­ka­ti­on dem UND, die Ad­di­ti­on da­ge­gen weder dem ex­klu­si­ven ENT­WE­DER-ODER noch dem in­klu­si­ven ODER. Die ge­nann­ten Boole-Nach­fol­ger gin­gen da­ge­gen vom in­klu­si­ven ODER aus. Die­ser über­gang wurde erst­mals von Je­vons voll­zo­gen.32

Charles San­ders Peir­ce führ­te 1880 den Peir­ce-Pfeil "↓" als Sym­bol für die Ne­ga­ti­on der Dis­junk­ti­on ein ((a↓b ⇔ a NOR b) und für die Ne­ga­ti­on der Kon­junk­ti­on ver­wen­de­te Henry Mau­rice Shef­fer 1913 den nach ihm be­nann­ten Shef­fer-Strich "|" (a|b ⇔ a↑b ⇔ a NAND b).
Das aus­sa­gen­lo­gi­sche ODER-Zei­chen ∨ wurde 1906 von Bertrand Rus­sell (1872-1970) ein­ge­führt33  und der nie­der­län­di­sche Ma­the­ma­ti­ker  Arend Heyting (1898-1980) brach­te 1930 die heute ge­bräuch­li­chen Sym­bo­le ∧  und ¬ ein.

Ernst Schrö­der wurde in Mann­heim ge­bo­ren. Nach dem Stu­di­um der Ma­the­ma­tik und Phy­sik in Hei­del­berg und Kö­nigs­berg ha­bi­li­tier­te er 1865 in Zü­rich und wirk­te ab 1876 als Pro­fes­sor an der TH Karls­ru­he und er­rang mit sei­nen Ar­bei­ten zur Al­ge­bra der Logik in­ter­na­tio­na­le An­er­ken­nung. Er op­ti­mier­te die Logik von Ge­or­ge Boole und ent­wi­ckel­te 1877 das erste voll­stän­di­ge Axio­men­sys­tem der boo­le­schen Al­ge­bra.34 Unter an­de­rem führ­te er auch den Be­griff der Nor­mal­form ein und ent­deck­te das Dua­li­täts­prin­zip in der Klas­sen­lo­gik.

Peano brach­te Schrö­ders Sys­tem 1888 in die heu­ti­ge Form und führ­te dabei die Sym­bo­le ∩ und ∪  ein. Sein er­wei­ter­tes (und red­un­dan­tes) Axio­men­sys­tem (vgl. S. 8) dien­te auch als als Aus­gangs­punkt für diese Hin­ter­grund­in­for­ma­tio­nen zur Boo­le­schen Al­ge­bra.

30 Vgl. [GAR], S. 101

31 Der von Heinz Klaus Strick  2018 ver­fass­te Le­bens­lauf Georg Boo­les bie­tet einen sehr guten über­blick. Herr Strick hat im Rah­men sei­nes ma­the­ma­ti­schen Mo­nats­ka­len­ders zahl­rei­che Le­bens­läu­fe be­rühm­ter Ma­the­ma­ti­ker ver­fasst, wei­te­re In­for­ma­tio­nen fin­den Sie auch auf sei­ner Home­page unter https://​www.​ma­the­ma­tik-​ist-​scho­en.​de/​mat​hema​tike​r/ (ab­ge­ru­fen am 9.3.2019).

32 Vgl. [GAR], S.104

33 Apos­to­los Do­xia­dis und Chris­tos H. Pa­pa­di­mi­triou leg­ten Bertrand Rus­sells be­weg­tes Leben dem Comic "Lo­gic­co­mix" zu­grun­de, der einen ers­ten Zu­gang zur Ent­wick­lung der Logik im 20. Jahr­hun­dert bie­tet.

34 Zi­tiert nach wi­ki­pe­dia https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Erns­t_​Schrö­der_(Ma­the­ma­ti­ker)) (ab­ge­ru­fen am 9.3.2019). Sein drei­bän­di­ges Haupt­werk "Al­ge­bra der Logik" ent­stand von 1890-1895 in Karls­ru­he.

 

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Wei­ter zu Li­te­ra­tur