Mitt­le­re Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tur

Vor­be­rei­tung (Stun­den 12 und 13 von 14)

• Ko­pie­ren des Ar­beits­blatts: 06_eu­w_a­b_­mitt­le­re_o­ber­flae­chen­tem­pe­ra­tur.docx

• Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on: 01_eu­w_o­ber­flae­chen­tem­pe­ra­tu­ren_­pla­ne­ten.xlsx

• Fuß­ball als An­schau­ungs­ob­jekt

Un­ter­richts­ab­lauf (Stun­de 12 und 13 von 14)

Die Ab­läu­fe in der Erd­at­mo­sphä­re sind kom­plex, die kli­ma­ti­schen Grund­be­din­gun­gen kön­nen aber trotz­dem be­reits mit re­la­tiv ein­fa­chen Mit­teln an­ge­nä­hert wer­den:

Die Schü­ler er­hal­ten das Ar­beits­blatt 06_eu­w_a­b_­mitt­le­re_o­ber­flae­chen­tem­pe­ra­tur.docx.

Sie ken­nen be­reits die So­lar­kon­stan­te S₀=1367 W/m² und die an­ge­strahl­te Flä­che der Erde A = 128 Mil­lio­nen km². Hier­aus lässt sich die von der Erde auf­ge­nom­me­ne Strah­lungs­leis­tung (Auf­ga­be a)) be­rech­nen:

P_auf = 175 Mio. GW (die Um­rech­nung von km² in m² ver­heißt dabei in der Klas­se si­cher­lich ein in­ter­es­san­tes „Mul­ti­er­geb­nis“). Ein Ver­gleich zu der Leis­tung eines Atom­kraft­wer­kes ist hier auch ganz ein­drucks­voll (s. Ar­beits­blatt).

Be­trach­tet man die Erde idea­li­siert als Schwarz­kör­per­strah­ler, so gibt sie bei der Tem­pe­ra­tur T über ihre ge­sam­te Ober­flä­che A_Erde die Leis­tung P_ab = A_Erde · σ · T⁴ ab (Ste­fan-Boltz­mann-Ge­setz mit der Ste­fan-Boltz­mann-Kon­stan­te: σ = 5,67 · 10^-8 W / (m² K⁴)).

Die Leis­tungs­dich­te (So­lar­kon­stan­te) S₀, die auf eine Kreis­flä­che mit Erd­ra­di­us trifft, wird von der 4-fa­chen Flä­che der Erd­ober­flä­che ver­teilt wie­der ab­ge­strahlt.

An­mer­kung: Hier wäre es mög­lich -kurz- auf die wun­der­ba­re ma­the­ma­ti­sche Be­son­der­heit ein­zu­ge­hen, dass eine (fla­che) Kreis­flä­che, die zu einer Halb­ku­gel „aus­ge­beult“ wird (also ir­gend­wie rund), EXAKT die 2-fache (bzw. die Kugel EXAKT die 4-fache-) Flä­che be­sitzt (ob­wohl doch ein run­des Ding so krumm ist…).

Letzt­lich ist genau o.g. Zu­sam­men­hang für die Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tur ver­ant­wort­lich:

T⁴ ist dann ein Vier­tel des Ver­hält­nis­ses von So­lar­kon­stan­te zur Ste­fan-Boltz­mann-Kon­stan­te.

Mög­li­cher Ta­fel­an­schrieb

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Bild­quel­le: Ta­fel­an­schrieb von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

Die Schü­ler be­ar­bei­ten nun Auf­ga­be b):

Setzt man die Werte S0 und σ ein, so er­hält man T = 279 K = 6 °C. Dies wäre bei einer Erde ohne At­mo­sphä­re der Fall.

Die Erde hat aber ge­schick­ter­wei­se eine At­mo­sphä­re.

Hier wäre nun das Er­fra­gen nach den Vor­stel­lun­gen zur At­mo­sphä­ren­di­cke pas­send:

Wie be­reits ein­gangs er­wähnt, lie­gen die Schü­le­r­ide­en (und die der Er­wach­se­nen) meist weit ab von der Rea­li­tät. Nach mei­nen Er­fah­run­gen lie­gen die Vor­stel­lun­gen der Schü­ler bei der „Fuß­ball-Erde“ im Be­reich von 2 cm bis 10 cm. Es sind aber nur 1,6 Mil­li­me­ter!

„Unser Astro-Alex“ um­run­de­te die Erde mit der ISS in einer Höhe von ca. 500 km, der Ab­stand von un­se­rem Fuß­ball be­trägt dem­nach ge­ra­de ein­mal 8 mm.

Im „Fuß­ball-Maß­stab“ sieht das so aus:

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Bild­quel­le: Fuß­ball-Maß­stab von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

Die Schü­ler sol­len letzt­lich mit­hil­fe einer Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on die Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tur der Erde er­mit­teln. Hier­zu müs­sen sie fol­gen­des wis­sen:

Ers­ter Teil

Ver­ein­facht aus­ge­drückt wer­den 30% der Son­nen­ein­strah­lung di­rekt an der Erd­at­mo­sphä­re ins All zu­rück­re­flek­tiert (sphä­ri­sche Al­be­do). 20 % wer­den in der Erd­at­mo­sphä­re in Wär­me­strah­lung um­ge­wan­delt, von die­sen ver­schwin­det auch wie­der die Hälf­te im All. 50% kom­men also un­ge­hin­dert bis zur Erd­ober­flä­che und 10 % auf einem klei­nen „Umweg“ d.h. 60 % der Son­nen­ein­strah­lung trifft also auf:

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Bild­quel­le: Son­nen­ein­strah­lung von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

Mög­li­cher Ta­fel­an­schrieb

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Bild­quel­le: Ta­fel­an­schrieb von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

Mit einer Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on, lässt sich die­ser Wert zu -28 °C be­rech­nen. Unter die­sen Um­stän­den wäre Leben in un­se­rer heu­ti­gen Form nicht mög­lich! Die Durch­schnitts-tem­pe­ra­tur liegt zwar noch ober­halb der des Mars, aber es gäbe kein flüs­si­ges Was­ser, trotz des Auf­ent­halts in der ha­bi­ta­blen Zone.

Nun kom­men die Treib­haus­ga­se ins Spiel:

Zwei­ter Teil

Die auf die Erd­ober­flä­che auf­tref­fen­den 60% wer­den zu 100 % in Wär­me­strah­lung um­ge­wan­delt und tre­ten den Rück­zug an. 12 % hier­von wie­der­um ver­schwin­den un­ge­hin­dert im All, Treib­haus­ga­se be­hin­dern aber die an­de­ren 88 %. Sie re­flek­tie­ren die Hälf­te zu­rück zur Erde, die rest­li­chen 44 % gehen dann doch noch auf und davon.

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Bild­quel­le: Treib­haus­ga­se von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

Etwas kom­plex wird die Sache nun, da zu den 60% wie­der­um 44% ihrer ei­ge­nen Strah­lungs­dich­te hinzu kommt. Das heißt, die Strah­lungs­dich­te S2, die unter der Wur­zel steht, setzt sich aus 0,15 · S0 und 0,44 von sich selbst zu­sam­men:

S₂ = 0,15 S₀ + 0,44 S₂

Hier­aus lässt sich nun S2 zu 0,27· S0 be­rech­nen. Nur: Das ma­chen wohl die we­nigs­ten Neunt­kläss­ler mit...

Ver­mut­lich wird man es den Kin­dern bes­ser nur mit­tei­len, dass 27% der So­lar­kon­stan­ten für die Tem­pe­ra­tur ver­ant­wort­lich sind. Die Sys­te­ma­tik der Tem­pe­ra­tur­be­rech­nung leuch­tet viel­leicht ein:

Mög­li­cher Ta­fel­an­schrieb

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Bild­quel­le: Ta­fel­an­schrieb von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

Die Schü­ler kön­nen nun eine Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on er­stel­len und die Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tu­ren der Erde bei (a) feh­len­der At­mo­sphä­re und feh­len­den Treib­haus­ga­sen, (b) nur bei feh­len­den Treib­haus­ga­sen oder mit (c) At­mo­sphä­re und Treib­haus­ga­sen be­rech­nen las­sen. Al­ter­na­tiv kön­nen sie in der Ta­bel­le von 01_eu­w_o­ber­flae­chen­tem­pe­ra­tu­ren_­pla­ne­ten.xlsx z.B. die Pla­ne­ten­da­ten von Mer­kur, Venus und Erde oder z.B. auch des größ­ten As­te­ro­iden Ceres in die ge­färb­ten Zel­len ein­ge­ben und die Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tu­ren ab­le­sen und ge­ge­be­nen­falls die Pa­ra­me­ter wei­ter ver­än­dern. An­fangs sind diese noch leer:

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Bild­quel­le: Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on von ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE], aus un­ter­richts­gan­g_er­de_un­d_welt­al­l_im­p_9.docx, be­ar­bei­tet

In 01_eu­w_o­ber­flae­chen­tem­pe­ra­tu­ren_­pla­ne­ten_­loe­sung.xlsx fin­den sich in wei­te­ren Rei­tern die Ta­bel­len mit den Daten und den Lö­sun­gen zu den Auf­ga­ben (ent­spre­chend der Rei­ter­be­schrif­tun­gen: Erde ohne At­mo­sphä­re, Erde ohne Treib­haus­ef­fekt Erde mit Treib­haus­ef­fekt, Mer­kur, Venus und Ceres).

Hin­weis: Diese Si­mu­la­ti­on ist eine sehr star­ke Ver­ein­fa­chung der rea­len Si­tua­tio­nen, die deut­lich kom­ple­xer und ins­be­son­de­re auch bei den an­de­ren Pla­ne­ten noch längst nicht ab­schlie­ßend er­forscht sind. Dies ist auch der Grund, warum Mars in die­ser Si­mu­la­ti­on nicht vor­kommt: Seine Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tur lässt sich so tri­vi­al nicht be­stim­men.

Ein Ver­gleich mit der durch die Ta­bel­len­kal­ku­la­ti­on er­hal­te­nen Durch­schnitts­tem­pe­ra­tur auf der Erde von 283 K bzw. 10 °C, zu den Durch­schnitts­tem­pe­ra­tu­ren von 459 °C auf der Venus zeigt deut­lich, dass ohne Treib­haus­ga­se eine ver­nünf­ti­ge Ober­flä­chen­tem­pe­ra­tur nicht zu hal­ten wäre, zu viel davon aber auch nicht ge­ra­de ideal sind.

 

Un­ter­richts­gang: Her­un­ter­la­den [docx][4 MB]

Un­ter­richts­gang: Her­un­ter­la­den [pdf][2 MB]

 

Wei­ter zu Si­mu­la­tio­nen aus­ge­wähl­ter Ober­flä­chensze­na­ri­en