Codierungsverfahren mit Prüfziffern

Codierungsverfahren begegnen uns im Alltag auf Schritt und Tritt. Nahezu kein Artikel kommt im Supermarkt mehr ohne den Strichcode auf der Verpackung aus, Pakete erhalten einen Zustellcode und auch auf unserem Personalausweis befindet sich nicht nur eine „normale“, sondern eine codierte Nummer. Wie eingangs bereits erwähnt, kennen die Schülerinnen und Schüler solche Codes spätestens seit der Einheit „Daten und Codierung“ im Informatikteil von IMP der Klasse 8. Es geht hier also insbesondere darum, die Mathematik und deren Fachsprache aus der vorliegenden Unterrichtseinheit mit dem bereits vorhandenen Wissen zu verknüpfen. In einem zweiten Schritt wird dann die Bandbreite solcher Codierungen und der zugehörigen Prüfverfahren vergrößert.

Kongruenzen bei Codierungen (Stunde 4)

Die erste Seite des zweiseitigen ABs „Kongruenzen bei Codierungen“ (03_mgk_ISBN-EAN) dient dazu, den Schülerinnen und Schülern die beiden Codes ISBN-10 und ISBN-13 und die zugehörige Berechnung der Prüfziffer vorzustellen. Je nachdem welche Beispiele im IMP-Informatik-Unterricht in Klassenstufe 8 behandelt wurden, sind diese Beispiele für die Schülerinnen und Schüler neu oder (teilweise) bereits bekannt. Dementsprechend wird der Zeitbedarf für diesen Teil variieren und kann nicht vorab zu eng festgelegt werden (vgl. „Hinweis“ weiter unten). Aufgabe 1 der zweiten Seite ist so gestaltet, dass sie als weitere Übung der Bestimmung von Prüfziffern für Schülergruppen ohne Vorkenntnisse dient, aber zugleich einen niederschwelligen Einstieg in die in den Aufgaben 2 und 3 folgenden Betrachtungen zur Fehlererkennung bereit hält. Der Unterschied zur „Realität“ ist in dieser Aufgabe, dass zusätzliches Wissen über die Art des Fehlers bekannt ist. Das Ziel der Aufgaben 2 und 3 ist es dann, die Prinzipien und Grenzen der Fehlererkennung mittels Prüfziffern mithilfe der Fachbegriffe der Modulo-Operation zu erläutern. Dies entspricht auch der vierten und letzten inhaltlichen Kompetenz des Bildungsplans. Wie am Wortlaut zu erkennen ist, muss hierbei auf zwei Punkte geachtet werden: Die Schülerinnen und Schülern sollen nachvollziehbar erläutern können und sich dabei gleichzeitig der korrekten Fachsprache bedienen.

Weitere Codierungssysteme im Alltag (Stunde 5-6)

Die Gruppenarbeit „weitere Codierungssysteme im Alltag“ (04_mgk_GA-Codierungen) gibt einen Überblick über vier weitere Codierungssysteme des Alltags (IBAN, Pharmazentralnummer, Personalausweisnummer und Eurobanknotennummer). Falls aufgrund der Klassengröße mehr als vier Gruppen gebildet werden sollen, so lässt sie sich beliebig erweitern. Gute Möglichkeiten dazu bilden die Codierungssysteme ISSN  (Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke, z.B. Zeitschriften), die ISIN (International Securities Identification Number, z.B. von Aktien), aber auch „private“ Codierungen von Unternehmen, wie z.B. der Deutschen Post (Identcode) oder Amazon (ASIN). Die Auswahl der vier genannten Systeme erfolgte unter den Aspekten des Vorkommens und der unterschiedlichen Berechnung im Prüfsystem.

Hinweis: Die Zeitangaben innerhalb des Unterabschnittes „Codierungsverfahren und Prüfziffern“ sind „fließend“ zu betrachten. Je nach Lerngruppe ist die gemeinsame Betrachtung der Verfahren ISBN-10 und ISBN-13¹ und ihrer Fehlererkennung aufgrund der noch vorhandenen Kenntnisse aus IMP 8 tatsächlich in einer Schulstunde behandelbar. Es ist aber auch gut möglich, dass das Aktivieren der Vorkenntnisse einige Zeit in Anspruch nimmt. Dann sind eher zwei Stunden realistisch. Die Inhalte der beiden Seiten des AB „Kongruenzen bei Codierungen“ (03_mgk_ISBN-EAN) decken jedoch das inhaltliche (Minimal-)Ziel des Bildungsplans bereits ab. Somit obliegt es dann der Lehrkraft zu entscheiden, ob für die anschließende Gruppenarbeit – die sehr interessante und vielfältige weitere Codierungsbeispiele des Alltags bereit hält – noch genügend Zeit zur Verfügung gestellt werden kann. Alternativ könnte sie auch teilweise als Hausaufgabe oder Grundlage für Referate dienen. 

Vertiefungsmöglichkeiten / GFS / Weitere Anregungen

Die Schülerinnen und Schüler lernten (nicht nur) im Mathematik-Teil von IMP in Klassenstufe 8 verschiedene Stellenwertsysteme kennen. Die Angabe einer Zahl in einem Stellenwertsystem lässt sich mithilfe der zum jeweiligen System gehörenden Modulo-Operation „Stück für Stück“ erarbeiten. Zum Beispiel folgt aus den Überlegungen

die Darstellung (von rechts nach links notiert)

Dieser Zusammenhang funktioniert in der analogen Art und Weise für jedes Stellenwertsystem und kann so als innermathematische Erweiterung und Verknüpfung der Inhalte von Klasse 8 und 9 dienen. 

Eine nahe Verwandtschaft zur Kongruenz-Relation findet man in der Informatik im Bereich von Tabellenplätzen. Wenn man beispielsweise für ein Spiel auf einer Art Schachbrett die Position einer Spielfigur speichern möchte, so könnte man dies nach Schach bzw. Tabellenkalkulations-Art durch Angabe eines Buchstabens für die Spaltenposition und einer Zahl für die Zeilenposition tun. Dieses zweidimensionale Speicherverfahren wird in manchen Anwendungen durch ein eindimensionales Verfahren ersetzt. Als Beispiel diene hier das „Schachbrett“ mit 5 Zeilen und 5 Spalten.

Die eindimensionale Platznummerierung erfolgt nun durch die in den Zellen geschriebenen Zahlen. Die Position einer Spielfigur auf dem Feld kann somit durch eine einzige Zahl gespeichert werden, beispielsweise durch die Zahl 16. Um nun die Position dieser Spielfigur innerhalb der Tabelle wiederzufinden, verwendet man die Operation „Modulo 5“ (wegen der 5 Spalten). Dabei gilt:

und Durch diese beiden Rechenschritte kann man die Position zur Zahl 16 mit Spalte S1 und Zeile Z3 angeben. In diesem System lassen sich einfache Spielzüge ebenso einfach festschreiben. Eine Spielfigur, die innerhalb einer Spalte nach oben oder unten um jeweils 1 Feld vorrücken darf, dürfte also die Zahl, die ihre Position beschreibt, in jedem Zug um +5 oder -5 verändern. Der Fantasie sind nun keine Grenzen gesetzt, eine Aufgabe an die Schülerinnen und Schüler könnte nun sein, ein einfaches Spiel theoretisch oder sogar praktisch basierend auf dieser Idee zu implementieren. Dies hätte sicher einen mehrstündigen Aufwand zur Folge, wäre in der Schule somit sicher nur im Rahmen eines Projektes oder einer Hausarbeit (GFS?!) denkbar – oder eventuell im verbindenden Unterricht mit der Informatik.  

Zum Zwecke der Binnendifferenzierung „nach oben“ kann man auch  auf die Rechenregeln innerhalb der Kongruenz-Relation vorgreifen (die im Bildungsplan in Klassenstufe 10 verankert sind). Dies muss (und sollte) nicht allgemeingültig geschehen, sondern könnte auch aus einer Art „intuitivem Rechnen heraus passieren“. Denn wenn dieses Vorgreifen nur zum Selbstzweck geschieht, dann ist der Sinn davon fraglich – verschiebt man das Problem der Binnendifferenzierung doch lediglich um eine Klassenstufe. Sinnvoll wäre eher ein nur so weit  reichender Vorgriff, wie er zum Zwecke von ansprechenden binnendifferenzierenden Aufgaben benötigt wird. Dies könnte zum Beispiel die Addition insoweit sein, als dass man damit die vom vorigen Jahr bekannten Quersummen-Teilbarkeitsregeln auf eine neue mathematische Art und Weise begründen kann.

Nicht zuletzt kann man in den einschlägigen Wettbewerben (Problem des Monats, …) immer wieder Aufgaben finden, in denen das Teilen mit Rest eine Rolle spielt. Ein des öfteren in verschiedenen Varianten auftretendes Beispiel sind Fragen der Art, welcher Rest beim Teilen von 2^{„aktuelle Jahreszahl“} durch 3 bleibt. Hier lohnt es sich, die Wettbewerbsaufgaben von Zeit zu Zeit nach geeigneten Aufgaben zu sichten oder stetig zu verfolgen. Um die Anbindung an die Informatik aufzuzeigen, eignen sich insbesondere auch Aufgaben aus dem Wettbewerb „Biber der Informatik“. In diesen findet man ab und an auch Bezüge zu Kongruenz-Relationen, beispielsweise in den Aufgaben „Flussdiagramme“ und „Magische Tunnel“ im Wettbewerb von 2013, die in der Datei X1-mgk-Aufgabenheft_2013_mit_Lsg im Kopiervorlagen-Ordner zu finden sind.

Ebenfalls gute Anregungen zu Resten/Restklassen findet man in der Aufgabensammlung [Mall]:

Teilweise findet man in den (Lösungen der) Wettbewerbsaufgaben bereits die Verwendung der Rechenregeln für Kongruenzen. Diese sind den Schülerinnen und Schülern eventuell intuitiv klar, wird aber erst in der Kryptologie-Einheit in IMP-10 behandelt. Dieses „Problem“ sollte bei der Auswahl solcher Aufgaben mitbedacht werden. Man kann dies aber durchaus auch als Chance sehen, bereits hier durch die aufgabengestützte Erweiterung der Grundlagen aus Klasse 9 die Inhalte von Klasse 10 bereits vorzubereiten.

 

¹Die ISBN-13-Codes sind so gestaltet, dass sie in das EAN-Verfahren nahtlos integriert werden konnten. Die EAN-Codes sind mittlerweile in der sogenannten GTIN aufgegangen.

Unterrichtsgang: Herunterladen [odt][138 KB]

 

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