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Kon­gru­en­zen und be­son­de­re Zah­len

Ein Zau­ber­trick

1:

  1. No­tie­re die Zah­len 1 bis 15 ne­ben­ein­an­der. Strei­che die Zahl 1. Rücke nun sechs Zah­len vor und strei­che die so er­hal­te­ne Zahl 7. Fahre fort. Wenn du bei der 15 an­ge­kom­men bist, fange wie­der mit der 1 an, zähle auch durch­ge­stri­che­ne Zah­len. Wie viele „Durch­gän­ge“ kannst du ma­chen, in denen du noch Zah­len neu durch­strei­chen kannst? Wie viele Zah­len sind somit ge­stri­chen und wie viele nicht?

    2. Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

     
  2. Führe dies mehr­mals er­neut durch, wie­der mit den Zah­len 1 bis 15, va­ri­ie­re je­doch die An­zahl, um die du je­weils vor­rückst. Bei wel­chen An­zah­len schaffst du nur einen Durch­gang? Bei wel­chen An­zah­len wer­den alle Zah­len ge­stri­chen? 
  3. Halte nun die An­zahl „um 6 vor­rü­cken“ fest und va­ri­ie­re die Zah­len­ko­lon­ne, indem du nur die Zah­len 1 bis 10, 1 bis 11, … , 1 bis 14 ver­wen­dest. Wann schaffst du hier nur einen Durch­gang und wann wer­den alle Zah­len ge­stri­chen?
  4. Be­trach­te deine Er­geb­nis­se aus b.) und c.). Be­schrei­be Zu­sam­men­hän­ge zwi­schen der End­zahl der Zah­len­ko­lon­ne und der „Vor­rü­cke­an­zahl“ in Bezug dar­auf, wann man nur einen Durch­gang er­zielt und wann man alle Zah­len strei­chen kann.

2:

(K)ein Mär­chen aus 1001er Nacht: Denke dir eine be­lie­bi­ge drei­stel­li­ge Zahl. Schrei­be sie zwei­mal hin­ter­ein­an­der so auf, dass es nun wie eine sechs­stel­li­ge Zahl aus­sieht. Wet­ten, dass diese sechs­stel­li­ge Zahl so­wohl kon­gru­ent zur Zahl 0 mo­du­lo 7, als auch zu 0 mo­du­lo 11 und eben­so zu 0 mo­du­lo 13 ist?! Kommst du hin­ter das Ge­heim­nis die­ser „mär­chen­haf­ten“ Zah­len?

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

 3:

  1. Finde je­weils die kleins­te na­tür­li­che Zahl (grö­ßer 1), die kon­gru­ent ist zu
    1. 1 mod 2 und 1 mod 3

    2. 1 mod 2 und 1 mod 4
    3. 1 mod 3 und 1 mod 4 
    4. 1 mod 2 uns 1 mod 5
    5. 1 mod 3 und 1 mod 6
    6. 1 mod 6 und 1 mod 9
  2.  Stel­le eine Regel auf, wie man zu zwei ge­ge­be­nen na­tür­li­chen Zah­len m und n die  Zahl a be­stim­men kann, die kon­gru­ent zu 1 mod m und 1 mod n ist.
  3.  **Re­cher­chie­re das Stich­wort „chi­ne­si­scher Rest­satz“. 

4:

  1. Die Qua­drat­zah­len kann man in die ge­ra­den und die un­ge­ra­den Qua­drat­zah­len un­ter­tei­len. Un­ter­su­che diese beide Grup­pen be­züg­lich ihrer Kon­gru­enz mo­du­lo 4. Stel­le eine Aus­sa­ge auf!
    * Be­grün­de diese Aus­sa­ge all­ge­mein­gül­tig, also für alle(!) ge­ra­den und un­ge­ra­den Qua­drat­zah­len.
  2. Drei na­tür­li­che Zah­len a, b und c, die die Glei­chung er­fül­len, nennt man py­tha­go­räi­sches Tri­pel. Ein Bei­spiel dafür sind die Zah­len 3, 4 und 5. Be­grün­de mit Hilfe dei­ner Aus­sa­ge aus a.), dass min­des­tens eine der bei­den Zah­len auf der lin­ken Seite der Glei­chung, also a oder b, ge­ra­de sein muss.


    * Falls du aus dem Geo­me­trie-Un­ter­richt be­reits den Satz des Py­tha­go­ras kennst, dann for­mu­lie­re die Be­deu­tung die­ser Er­kennt­nis für die Ka­the­ten­län­gen in den recht­wink­li­gen Drei­ecken, deren Sei­ten­län­gen ganz­zah­lig sind.   

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Kon­gru­en­zen und be­son­de­re Zah­len: Her­un­ter­la­den [odt][526 KB]

 

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