Kongruenzen und besondere Zahlen

Ein Zaubertrick

1:

1. Notiere die Zahlen 1 bis 15 nebeneinander. Streiche die Zahl 1. Rücke nun sechs Zahlen vor und streiche die so erhaltene Zahl 7. Fahre fort. Wenn du bei der 15 angekommen bist, fange wieder mit der 1 an, zähle auch durchgestrichene Zahlen. Wie viele „Durchgänge“ kannst du machen, in denen du noch Zahlen neu durchstreichen kannst? Wie viele Zahlen sind somit gestrichen und wie viele nicht?


Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

 
2. Führe dies mehrmals erneut durch, wieder mit den Zahlen 1 bis 15, variiere jedoch die Anzahl, um die du jeweils vorrückst. Bei welchen Anzahlen schaffst du nur einen Durchgang? Bei welchen Anzahlen werden alle Zahlen gestrichen? 
3. Halte nun die Anzahl „um 6 vorrücken“ fest und variiere die Zahlenkolonne, indem du nur die Zahlen 1 bis 10, 1 bis 11, … , 1 bis 14 verwendest. Wann schaffst du hier nur einen Durchgang und wann werden alle Zahlen gestrichen?
4. Betrachte deine Ergebnisse aus b.) und c.). Beschreibe Zusammenhänge zwischen der Endzahl der Zahlenkolonne und der „Vorrückeanzahl“ in Bezug darauf, wann man nur einen Durchgang erzielt und wann man alle Zahlen streichen kann.

2:

(K)ein Märchen aus 1001er Nacht: Denke dir eine beliebige dreistellige Zahl. Schreibe sie zweimal hintereinander so auf, dass es nun wie eine sechsstellige Zahl aussieht. Wetten, dass diese sechsstellige Zahl sowohl kongruent zur Zahl 0 modulo 7, als auch zu 0 modulo 11 und ebenso zu 0 modulo 13 ist?! Kommst du hinter das Geheimnis dieser „märchenhaften“ Zahlen?

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

 3:

1. Finde jeweils die kleinste natürliche Zahl (größer 1), die kongruent ist zu
   1. 1 mod 2 und 1 mod 3

   2. 1 mod 2 und 1 mod 4
   3. 1 mod 3 und 1 mod 4 
   4. 1 mod 2 uns 1 mod 5
   5. 1 mod 3 und 1 mod 6
   6. 1 mod 6 und 1 mod 9
2.  Stelle eine Regel auf, wie man zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen m und n die  Zahl a bestimmen kann, die kongruent zu 1 mod m und 1 mod n ist.
3.  **Recherchiere das Stichwort „chinesischer Restsatz“. 

4:

1. Die Quadratzahlen kann man in die geraden und die ungeraden Quadratzahlen unterteilen. Untersuche diese beide Gruppen bezüglich ihrer Kongruenz modulo 4. Stelle eine Aussage auf!
   * Begründe diese Aussage allgemeingültig, also für alle(!) geraden und ungeraden Quadratzahlen.
2. Drei natürliche Zahlen a, b und c, die die Gleichung erfüllen, nennt man pythagoräisches Tripel. Ein Beispiel dafür sind die Zahlen 3, 4 und 5. Begründe mit Hilfe deiner Aussage aus a.), dass mindestens eine der beiden Zahlen auf der linken Seite der Gleichung, also a oder b, gerade sein muss.
   
   * Falls du aus dem Geometrie-Unterricht bereits den Satz des Pythagoras kennst, dann formuliere die Bedeutung dieser Erkenntnis für die Kathetenlängen in den rechtwinkligen Dreiecken, deren Seitenlängen ganzzahlig sind.   

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

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