Boo­le­sche Al­ge­bra über der Trä­ger­men­ge B=[0,1]

Be­son­ders ein­fach und ef­fi­zi­ent wer­den die Rech­nun­gen, wenn man die „kleins­te“ Boo­le­sche Al­ge­bra wählt, die man er­hält, wenn man nur die bei­den Ele­men­te 0 und 1 zu­lässt und hier zu­sam­men mit den UND-, ODER- und NICHT-Ope­ra­tio­nen be­trach­tet, die durch fol­gen­de Ver­knüp­fungs­ta­feln de­fi­niert wer­den.²⁰

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Ein Ele­ment die­ser Al­ge­bra kann nur die bei­den Zu­stän­de 1 und 0 be­sit­zen. Dar­aus er­ge­ben sich zahl­rei­che In­ter­pre­ta­tio­nen und An­wen­dungs­ge­bie­te, die ein­gangs be­schrie­ben wur­den. 
Für die Ver­knüp­fung zwei­er Ele­men­te a und b kann man al­ter­na­tiv zu den Ver­knüp­fungs­ta­feln  die vier mög­li­chen Fälle in Ta­bel­len auf­lis­ten, den sog. Wahr­heits­ta­feln:

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Zwei­stel­li­ge Boo­le­sche Funk­tio­nen

Man er­kennt, dass es ins­ge­samt 4²=16 un­ter­schied­li­che zwei­stell­li­ge Ver­knüp­fun­gen gibt, die in der fol­gen­den Ta­bel­le auf­ge­lis­tet sind²¹: 

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Die 16 Spal­ten­kom­bi­na­tio­nen las­sen sich dabei auf ver­schie­de­ne Arten sys­te­ma­tisch an­ord­nen. Hier wur­den z.B. die vier un­ter­ein­an­der ste­hen­den Zif­fern als Bi­n­är­zahl ge­deu­tet. Von rechts nach links wurde dann von 0 bis 15  „hoch­ge­zählt“.

Zu­nächst fällt die An­ti­sym­me­trie der Ta­bel­le auf, die auf dem Dua­li­täts­prin­zip be­ruht. Der zwei­te Teil der Ta­bel­le er­gibt sich durch Spie­ge­lung an der mar­kier­ten Achse zwi­schen f₈ und f₉ aus dem ers­ten Teil, wenn man gleich­zei­tig 1 und 0 ver­tauscht (Ne­ga­ti­on der Werte).
Es gilt z.B. a↑b ⇔ ¬(∧b) oder a⊕b ⇔ ¬(a↔b). Die Funk­tio­nen f₉ bis f₁₆ sind also auf f₁ bis f₈ zu­rück­führ­bar, man kommt be­reits mit den ers­ten 8 Funk­tio­nen und der Ne­ga­ti­on ¬ aus.

Man kann auf wei­te­re der acht Funk­tio­nen ver­zich­ten. Die Ver­knüp­fung f₄ ist von b, f₆ von a, f₁ von a und b un­ab­hän­gig und daher über­flüs­sig. Au­ßer­dem ist f₃ durch Ver­tau­schen von a und b auf f₅ zu­rück­führ­bar. Ins­ge­samt kann man daher mit den Funk­tio­nen f₂, f₅, f₇, f₈ und der Ne­ga­ti­on ¬ be­reits alle zwei­stel­li­gen Ver­knüp­fun­gen be­schrei­ben.

Kon­junk­ti­on (f₈), Dis­junk­ti­on (f₂), Sub­junk­ti­on (f₅) und Bi­junk­ti­on (f₇)  ste­hen daher auch im Zen­trum die­ser Un­ter­richts­ein­heit. Ihre Wahr­heits­ta­feln sind in der Ta­bel­le oben grau un­ter­legt. Eine um­fas­sen­de­re Über­sicht zu den zwei­stel­li­gen Ver­knüp­fun­gen fin­den Sie in der se­pa­ra­ten Datei  M9au­g01a_16Ver­k­nue­pfun­gen.odt.  Dort wurde al­ler­dings eine an­de­re Rei­hen­fol­ge der Funk­tio­nen ge­wählt, um die Zu­sam­men­hän­ge auf einer DIN-A4-Seite mög­lichst um­fas­send dar­stel­len zu kön­nen.²²

Men­ge­nal­ge­bra – Vi­sua­li­sie­rung mit Venn-Dia­gram­men

Wie be­reits er­wähnt, kann die Boo­le­sche Al­ge­bra u.a. als Men­gen-, Aus­sa­gen- oder Schal­tal­ge­bra aus­ge­legt wer­den. Im Kon­text der Men­ge­nal­ge­bra ist eine wei­te­re In­ter­pre­ta­ti­on wich­tig, da sie die Vi­sua­li­sie­rung mit­hil­fe von Venn-Dia­gram­men er­mög­licht.
Be­trach­tet man in einer Ebene Punkt­men­gen, die ge­färbt (=1) oder nicht ge­färbt (=0) sein kön­nen und legt als Ver­knüp­fun­gen die Ver­ei­ni­gung, den Schnitt und das Kom­ple­ment zu­grun­de, so kann man die Ele­men­te der Boo­le­schen Al­ge­bra auch vi­su­ell deu­ten. Dabei kann jede Voll­kon­junk­ti­on der Aus­sa­ge­va­ria­blen als Venn-Dia­gramm mit höchs­tens einer ge­färb­ten Teil­flä­che vi­sua­li­siert wer­den. Für zwei, drei oder vier Va­ria­blen sind hier ent­spre­chen­de Bei­spie­le auf­ge­führt:

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Die Wahr­heits­ta­feln der Ver­knüp­fun­gen von zwei, drei oder vier Aus­sa­gen­va­ria­blen kön­nen eben­so mit Venn-Dia­gram­men vi­sua­li­siert wer­den, auch hier ein ex­em­pla­ri­scher Ein­blick:

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Auf­grund der Iso­mor­phie zwi­schen Men­gen- und Aus­sa­gen­al­ge­bra kann man also Venn-Dia­gram­me zur Be­griffs­bil­dung für die Aus­sa­gen­al­ge­bra nut­zen. ²³ Gleich­zei­tig schlägt man so "zwei Flie­gen mit einer Klap­pe". Da die Be­trach­tung von Men­gen und Teil­men­gen samt ihrer Re­la­tio­nen seit den Er­fah­run­gen des "Bour­bak­is­mus" nicht mehr im Kern­cur­ri­cu­lum ver­an­kert ist, feh­len den SuS meist trag­fä­hi­ge Grund­vor­stel­lun­gen zur Men­gen­leh­re. Diese sind aber in vie­len Be­rei­chen wich­tig, unter an­de­rem auch in der Sto­chas­tik. Im Rah­men der Ein­füh­rung in die Aus­sa­gen­lo­gik kön­nen Vor­stel­lun­gen zur Men­gen­leh­re be­glei­tend an­ge­spro­chen und ent­wi­ckelt wer­den, ohne dass die Men­ge­nal­ge­bra dabei im Zen­trum steht.

²⁰ Vgl. [BEU], S. 241

²¹ Vgl. [REI], S. 14

²² Datei M9au­g01a_16Ver­k­nue­pfun­gen.odt im Ver­zeich­nis 1_hin­ter­grund.

²³ Vgl. zu Euler- und Venn-Dia­gram­men: https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Men​gend​iagr​amm (abg. am 22.3.2019)

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Wei­ter zu Ver­schie­de­ne Schreib­wei­sen