Boolesche Algebra über der Trägermenge B=[0,1]

Besonders einfach und effizient werden die Rechnungen, wenn man die „kleinste“ Boolesche Algebra wählt, die man erhält, wenn man nur die beiden Elemente 0 und 1 zulässt und hier zusammen mit den UND-, ODER- und NICHT-Operationen betrachtet, die durch folgende Verknüpfungstafeln definiert werden.²⁰

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Ein Element dieser Algebra kann nur die beiden Zustände 1 und 0 besitzen. Daraus ergeben sich zahlreiche Interpretationen und Anwendungsgebiete, die eingangs beschrieben wurden. 
Für die Verknüpfung zweier Elemente a und b kann man alternativ zu den Verknüpfungstafeln  die vier möglichen Fälle in Tabellen auflisten, den sog. Wahrheitstafeln:

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Zweistellige Boolesche Funktionen

Man erkennt, dass es insgesamt 4²=16 unterschiedliche zweistelllige Verknüpfungen gibt, die in der folgenden Tabelle aufgelistet sind²¹: 

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Die 16 Spaltenkombinationen lassen sich dabei auf verschiedene Arten systematisch anordnen. Hier wurden z.B. die vier untereinander stehenden Ziffern als Binärzahl gedeutet. Von rechts nach links wurde dann von 0 bis 15  „hochgezählt“.

Zunächst fällt die Antisymmetrie der Tabelle auf, die auf dem Dualitätsprinzip beruht. Der zweite Teil der Tabelle ergibt sich durch Spiegelung an der markierten Achse zwischen f₈ und f₉ aus dem ersten Teil, wenn man gleichzeitig 1 und 0 vertauscht (Negation der Werte).
Es gilt z.B. a↑b ⇔ ¬(∧b) oder a⊕b ⇔ ¬(a↔b). Die Funktionen f₉ bis f₁₆ sind also auf f₁ bis f₈ zurückführbar, man kommt bereits mit den ersten 8 Funktionen und der Negation ¬ aus.

Man kann auf weitere der acht Funktionen verzichten. Die Verknüpfung f₄ ist von b, f₆ von a, f₁ von a und b unabhängig und daher überflüssig. Außerdem ist f₃ durch Vertauschen von a und b auf f₅ zurückführbar. Insgesamt kann man daher mit den Funktionen f₂, f₅, f₇, f₈ und der Negation ¬ bereits alle zweistelligen Verknüpfungen beschreiben.

Konjunktion (f₈), Disjunktion (f₂), Subjunktion (f₅) und Bijunktion (f₇)  stehen daher auch im Zentrum dieser Unterrichtseinheit. Ihre Wahrheitstafeln sind in der Tabelle oben grau unterlegt. Eine umfassendere Übersicht zu den zweistelligen Verknüpfungen finden Sie in der separaten Datei  M9aug01a_16Verknuepfungen.odt.  Dort wurde allerdings eine andere Reihenfolge der Funktionen gewählt, um die Zusammenhänge auf einer DIN-A4-Seite möglichst umfassend darstellen zu können.²²

Mengenalgebra – Visualisierung mit Venn-Diagrammen

Wie bereits erwähnt, kann die Boolesche Algebra u.a. als Mengen-, Aussagen- oder Schaltalgebra ausgelegt werden. Im Kontext der Mengenalgebra ist eine weitere Interpretation wichtig, da sie die Visualisierung mithilfe von Venn-Diagrammen ermöglicht.
Betrachtet man in einer Ebene Punktmengen, die gefärbt (=1) oder nicht gefärbt (=0) sein können und legt als Verknüpfungen die Vereinigung, den Schnitt und das Komplement zugrunde, so kann man die Elemente der Booleschen Algebra auch visuell deuten. Dabei kann jede Vollkonjunktion der Aussagevariablen als Venn-Diagramm mit höchstens einer gefärbten Teilfläche visualisiert werden. Für zwei, drei oder vier Variablen sind hier entsprechende Beispiele aufgeführt:

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Die Wahrheitstafeln der Verknüpfungen von zwei, drei oder vier Aussagenvariablen können ebenso mit Venn-Diagrammen visualisiert werden, auch hier ein exemplarischer Einblick:

Bildquelle: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Aufgrund der Isomorphie zwischen Mengen- und Aussagenalgebra kann man also Venn-Diagramme zur Begriffsbildung für die Aussagenalgebra nutzen. ²³ Gleichzeitig schlägt man so "zwei Fliegen mit einer Klappe". Da die Betrachtung von Mengen und Teilmengen samt ihrer Relationen seit den Erfahrungen des "Bourbakismus" nicht mehr im Kerncurriculum verankert ist, fehlen den SuS meist tragfähige Grundvorstellungen zur Mengenlehre. Diese sind aber in vielen Bereichen wichtig, unter anderem auch in der Stochastik. Im Rahmen der Einführung in die Aussagenlogik können Vorstellungen zur Mengenlehre begleitend angesprochen und entwickelt werden, ohne dass die Mengenalgebra dabei im Zentrum steht.

²⁰ Vgl. [BEU], S. 241

²¹ Vgl. [REI], S. 14

²² Datei M9aug01a_16Verknuepfungen.odt im Verzeichnis 1_hintergrund.

²³ Vgl. zu Euler- und Venn-Diagrammen: https://de.wikipedia.org/wiki/Mengendiagramm (abg. am 22.3.2019)

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