Ab­gren­zung der Aus­sa­gen­al­ge­bra von der ele­men­ta­ren Al­ge­bra

Zu­sam­men­ge­setz­te Aus­sa­gen kön­nen als zwei­stel­li­ge Wahr­heits­funk­tio­nen auf­ge­fasst wer­den. Die Kon­junk­ti­on x ∧ y zwei­er Aus­sa­gen ent­spricht dabei der Mul­ti­pli­ka­ti­on der zu­ge­hö­ri­gen Wahr­heits­wer­te, die Dis­junk­ti­on x ∨ y der Ad­di­ti­on, die Ne­ga­ti­on ¬ x der Sub­trak­ti­on 1-x. Für die Ope­ra­tio­nen ∧ , ∨ , ¬ und be­lie­bi­ge Aus­sa­gen gel­ten die aus der Al­ge­bra be­kann­ten Ge­set­ze: das Kom­mu­ta­tiv-, das As­so­zia­tiv­ge­setz und sogar zwei Dis­tri­bu­tiv­ge­set­ze. Au­ßer­dem exis­tie­ren neu­tra­le Ele­men­te und zu­sätz­lich  zu jedem Ele­ment Kom­ple­men­te (in­ver­se Ele­men­te) be­züg­lich der bei­den de­fi­nier­ten Ver­knüp­fun­gen.

Die fol­gen­de Über­sicht zeigt die Un­ter­schie­de der gel­ten­den Ge­set­ze in der Boo­le­schen und der ele­men­ta­ren Al­ge­bra:

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

In der ge­wohn­ten arith­me­ti­schen Al­ge­bra gilt das Dua­li­täts­prin­zip nicht, ins­be­son­de­re gibt es keine Kom­ple­ment­bil­dung und es gilt kein zwei­tes Dis­tri­bu­tiv­ge­setz. Die grau hin­ter­leg­ten Flä­chen mar­kie­ren diese Un­ter­schie­de.

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Wei­ter zu Boo­le­sche Funk­tio­nen