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Grund­sätz­li­ches zur Kon­zep­ti­on

Im Mit­tel­punkt der Ein­heit ste­hen die Ein­füh­rung und Be­grün­dung der Kreis­win­kel­sät­ze.
Da die Be­wei­se der Sätze erst dann Sinn ma­chen, wenn ihre Aus­sa­gen von den Schü­le­rin­nen und Schü­lern1 wirk­lich ver­stan­den wor­den ist, er­gibt sich die Struk­tur der Ein­heit quasi von selbst, sie ist in fol­gen­de drei Un­ter­richts­pha­sen un­ter­teilt:

 1.+2. Stun­de: Be­grün­dungs­ba­sis ak­ti­vie­ren und Kreis­win­kel er­kun­den 
 3.+4. Stun­de: Kreis­win­kel­sät­ze ver­ste­hen und be­wei­sen
 5.+6. Stun­de: Kreis­win­kel­sät­ze an­wen­den – Wei­te­re Be­wei­se

Nach der Ak­ti­vie­rung be­kann­ter Sätze und Zu­sam­men­hän­ge aus Klas­se 7 und 8 in der ers­ten Stun­de, wer­den in der zwei­ten und drit­ten Stun­de zu­nächst die neuen Be­grif­fe im Kon­text der Kreis­win­kel­sät­ze ein­ge­führt und pas­sen­de Vor­stel­lun­gen ent­wi­ckelt. Auf Basis einer ganz­heit­lich an­ge­leg­ten Er­kun­dungs­pha­se in der zwei­ten Stun­de wer­den die Sätze in der drit­ten Stun­de for­mu­liert und bei ers­ten An­wen­dun­gen wei­ter durch­drun­gen. Erst da­nach folgt in der 4. Stun­de die Er­ar­bei­tung eines for­ma­len Be­wei­ses.
In den letz­ten bei­den Stun­den der Ein­heit kön­nen ver­schie­de­ne Zu­sam­men­hän­ge im Kon­text der Kreis­leh­re er­kun­det und wei­te­re Sätze be­wie­sen wer­den. Diese Phase er­öff­net reich­hal­ti­ge An­knüp­fungs­punk­te, ist aber be­wusst offen ge­hal­ten, so dass sie in der Pra­xis auf Basis des Ma­te­ri­als sehr un­ter­schied­lich aus­ge­stal­tet wer­den kann.

Ein wich­ti­ges Ziel bei der Kon­zep­ti­on der ers­ten vier Stun­den war neben dem Auf­bau ad­äqua­ter Vor­stel­lun­gen auch die in­halt­li­che Vor­ent­las­tung des Be­wei­ses in der 4. Stun­de.  Die dazu er­for­der­li­che Be­grün­dungs­ba­sis wird daher über die ers­ten drei Stun­den hin­weg auf­ge­baut.

Op­tio­na­le Ver­tie­fun­gen wie z.B. der Ex­kurs zur Kon­struk­ti­on von Tan­gen­ten an den Kreis  wer­den bei der Be­schrei­bung der ein­zel­nen Stun­den er­wähnt. Sol­che Ver­tie­fun­gen gehen über die Vor­ga­ben des Bil­dungs­plans hin­aus und sind als er­gän­zen­des An­ge­bot ge­dacht. Da sie eben­falls bin­nen­dif­fe­ren­zie­rend ge­stal­tet sind, kön­nen sie ent­we­der mit der ge­sam­ten Klas­se oder als Zu­satz­auf­trä­ge für ein­zel­ne Schü­ler­grup­pen ge­nutzt wer­den. 

Vor­be­mer­kung zum Pe­ri­phe­rie­win­kel­satz – Ganz­heit­li­cher Zu­gang

Geometrie

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

In den ver­schie­de­nen Quel­len gibt es keine ein­heit­li­che Auf­fas­sung über In­hal­te und Be­zeich­nung des Pe­ri­phe­rie­win­kel­sat­zes.2 Um die Zu­sam­men­hän­ge wirk­lich zu ver­ste­hen, ist es aus di­dak­ti­scher Sicht an­ge­zeigt, einen ganz­heit­li­chen Zu­gang zu wäh­len und auch den Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel ein­zu­be­zie­hen. In der vor­lie­gen­den  Ein­heit wurde daher eine Fas­sung zu­grun­de ge­legt, die neben den Aus­sa­gen zum Um­fangs- und Mit­tel­punkt­swin­kel auch die Gleich­heit von Um­fangs- und Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel ent­hält und sich in der kon­kre­ten For­mu­lie­rung auf Kreis­bo­gen statt Kreis­seh­nen be­zieht3:

Pe­ri­phe­rie­win­kel­satz (Kreis­win­kel­sät­ze), vgl. Bild
Alle Um­fangs­win­kel φ über einem Kreis­bo­gen b sind gleich groß (UWS),
jeder ist halb so groß wie der zum Bogen b ge­hö­ri­ge Mit­tel­punkt­swin­kel μ (MWS)
und eben­so groß wie der zum Bogen b ge­hö­ri­ge Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel ε (STWS). 

Die drei ein­zel­nen Aus­sa­gen wer­den dabei in die­ser Ein­heit als Um­fangs­win­kel­satz (UWS), Mit­tel­punkt­swin­kel­satz (MWS) und Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel­satz (STWS) be­zeich­net und im Sinne einer nach­hal­ti­gen Be­griffs­bil­dung ab der zwei­ten Stun­de er­kun­det und be­schrie­ben. In der 3. Stun­de wer­den die drei Aus­sa­gen als ei­gen­stän­di­ge Sätze for­mu­liert, wobei auch For­mu­lie­run­gen ein­ge­bun­den sind, die sich auf Kreis­seh­nen be­zie­hen. Um dabei mög­li­chen Fehl­vor­stel­lun­gen ent­ge­gen­zu­wir­ken, wird der Zu­sam­men­hang zwi­schen Kreis­seh­nen, Bogen und Kreis­win­keln the­ma­ti­siert. Erst in der 4. Stun­de wer­den die drei Sätze dann unter dem Dach des Pe­ri­phe­rie­win­kel­sat­zes zu­sam­men­ge­fasst und in der oben auf­ge­führ­ten ein­fa­che­ren For­mu­lie­rung be­wie­sen. Die Be­zeich­nung Pe­ri­phe­rie­win­kel­satz wurde dabei von Scheid / Schwarz (a.a.O.) über­nom­men, um den Satz mit einem ei­ge­nen Be­griff von den "Teil­sät­zen" ab­zu­gren­zen. Das Wort "Pe­ri­phe­rie­win­kel­satz" muss aber nicht zwin­gend im Un­ter­richt ver­wen­det wer­den. Falls man den SuS die­sen wei­te­ren Be­griff er­spa­ren möch­te, kann man ihn auf dem  Ar­beits­blatt lö­schen und wei­ter­hin von den Kreis­win­kel­sät­zen spre­chen. Tat­säch­lich taucht der Satz in der wei­ten Fas­sung (mit allen drei Aus­sa­gen) auch unter der Be­zeich­nung "Satz vom Um­fangs­win­kel" oder auch "Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel­satz" auf. Bei Wi­ki­pe­dia fin­det sich dazu bei­spiels­wei­se fol­gen­de prä­gnan­te For­mu­lie­rung4:

Die bei­den Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel eines Kreis­bo­gens sind so groß
wie die zu­ge­hö­ri­gen Um­fangs­win­kel (Pe­ri­phe­rie­win­kel) und
halb so groß wie der zu­ge­hö­ri­ge Mit­tel­punkt­swin­kel (Zen­tri­win­kel).  

Zur Rolle und zum Ein­satz di­gi­ta­ler Werk­zeu­ge

Dy­na­mi­sche Geo­me­trie-Sys­te­me (DGS) er­lau­ben es durch (ggf. ani­mier­te) Vi­sua­li­sie­run­gen von Zu­sam­men­hän­gen die Ent­wick­lung trag­fä­hi­ger Vor­stel­lun­gen zu un­ter­stüt­zen, falls ihr Ein­satz gut auf die Be­griffs­bil­dungs­schrit­te ab­ge­stimmt ist und nicht zum fal­schen Zeit­punkt er­folgt. Der Ein­satz soll­te au­ßer­dem die Ent­wick­lung von ei­ge­nen Vor­stel­lun­gen der SuS an­re­gen und darf die­ser nicht vor­grei­fen bzw. diese nicht do­mi­nie­ren. Die Be­dien­kom­pe­ten­zen der SuS soll­ten dabei nicht im Vor­der­grund ste­hen, kön­nen aber durch­aus be­hut­sam ge­för­dert wer­den, so dass die SuS ein DGS ihrer Wahl für den wei­te­ren Ma­the­ma­tik­un­ter­richt nut­zen kön­nen.
Der Ein­satz eines DGS ist im Bil­dungs­plan für diese Ein­heit aus­drück­lich ge­for­dert, aber nicht ex­pli­zit einer be­stimm­ten Un­ter­richts­pha­se zu­ge­ord­net (siehe 3.​2.​2.​3, (2)). In der zwei­ten und fünf­ten Stun­de soll­ten die Er­kun­dun­gen idea­ler­wei­se im Com­pu­ter­raum oder im Klas­sen­zim­mer mit End­ge­rä­ten statt­fin­den. Dar­über hin­aus sind in den ein­zel­nen Stun­den wei­te­re Ein­satz­mög­lich­kei­ten be­schrie­ben. Die vor­lie­gen­den Ar­beits­blät­ter  wur­den auf die frei ver­füg­ba­re Soft­ware Geo­Ge­bra ab­ge­stimmt, kön­nen aber auch für an­de­re DGS mo­di­fi­ziert wer­den.
Um die tech­ni­sche Or­ga­ni­sa­ti­on zu er­leich­tern, wurde be­glei­tend ein Geo­Ge­bra-Buch für IMP 9  ein­ge­rich­tet 5, in dem die App­lets zen­tral ab­ruf­bar sind. Das di­rek­te Ab­ru­fen aus dem Netz bringt den Vor­teil mit sich, dass die Auf­lö­sung au­to­ma­tisch an die je­wei­li­gen End­ge­rä­te an­ge­passt wird, er­for­dert al­ler­dings eine In­ter­net­an­bin­dung. Falls dies nicht mög­lich ist, kön­nen die App­lets vorab her­un­ter­ge­la­den und in­tern im Netz­werk der Schu­le zur Ver­fü­gung ge­stellt wer­den, so­fern die Soft­ware Geo­Ge­bra in­stal­liert ist. Alle App­lets sind auch im Ma­te­ri­al­pa­ket unter M03_­geo im Un­ter­ver­zeich­nis 3_vor­la­gen_­tausch­ord­ner bzw. 5_pra­e­sen­ta­tio­nen ab­ruf­bar. 

Hin­wei­se zur Do­ku­men­ta­ti­on – "Zwei­spal­ten­be­wei­se"

Be­wei­sen und Ar­gu­men­tie­ren sind zen­tra­le Kom­pe­ten­zen, bei denen auch die Frage der Er­geb­nis­si­che­rung ent­schei­dend ist. Eine prak­ti­ka­ble, an­ge­mes­se­ne Do­ku­men­ta­ti­on muss ein­ge­führt und ein­ge­übt wer­den. An ei­ni­gen Stel­len der Ein­heit wurde dazu das Prin­zip der Zwei­spal­ten­be­wei­se ein­ge­bun­den.  Es sieht ein drei­schrit­ti­ges Vor­ge­hen vor, um die Kom­pe­tenz des Be­wei­sens al­ters­an­ge­mes­sen zu un­ter­stüt­zen 6:

  1. Schritt: Klare Tren­nung von Vor­aus­set­zung und Be­haup­tung
  2. Schritt: Skiz­zie­ren einer Be­weis­fi­gur mit allen wich­ti­gen Grö­ßen und ggf. Hilfs­grö­ßen/ -li­ni­en
  3. Schritt: Aus den Vor­aus­set­zun­gen und be­kann­ten Zu­sam­men­hän­gen wird die Be­haup­tung schritt­wei­se her­ge­lei­tet. Dies wird über­sicht­lich in zwei Spal­ten do­ku­men­tiert.

Der An­fang des Be­wei­ses des Satz des Tha­les könn­te dann z.B. so aus­se­hen:

Be­weis­schritt

Be­grün­dung

(1)

γ1+γ2=γ

Hilfs­li­nie teilt γ in γ1und γ2

(2)

MA=MC

MA und MC sind Ra­di­en des Krei­ses

(3)

γ1=α

Ba­sis­win­kel im gleich­schenk­li­gen Drei­eck sind gleich groß

...

...

 ...


Zur Ent­wick­lung von Be­weis­kom­pe­ten­zen kann au­ßer­dem die "Zwei-Tore-Regel" hilf­reich sein, die hier nur kurz skiz­ziert wer­den soll. Für wei­ter­ge­hen­de In­for­ma­tio­nen wird auf die  über­sicht­li­che Zu­sam­men­fas­sung von Herrn Brock­mann-Behn­sen ver­wie­sen7.

Man stellt sich dabei zwei Tore vor, die bei jedem Be­weis­schritt pas­siert wer­den müs­sen.
Jedes Tor wird von einem Wäch­ter be­wacht, der eine Leit­fra­ge stellt:

TOR 2

TOR 1

Nut­zen des ge­plan­ten Schrit­tes

Be­grün­dung für den ge­plan­ten Schritt

 Wäch­ter 2: Was bringt es dir?

Wäch­ter 1: Warum darfst du das?

Nur wenn man dem stren­gen ers­ten Wäch­ter eine gute Be­grün­dung für die Recht­mä­ßig­keit des ge­plan­ten Schrit­tes lie­fern kann, darf man zum zwei­ten Tor wei­ter­ge­hen. Dort möch­te der freund­li­che zwei­te Wäch­ter hel­fen, un­nö­ti­ge Schrit­te und Ar­beit zu ver­mei­den.

Die Tore sind hier von rechts nach links an­ge­ord­net, um den Zu­sam­men­hang mit dem Prin­zip des Zwei­spal­ten­be­wei­ses zu ver­deut­li­chen. Die Ant­wort auf die erste Frage muss für jeden Be­weis­schritt je­weils in der rech­ten Spal­te be­grün­det wer­den (ho­ri­zon­ta­le Sicht). Die zwei­te Frage nach dem Nut­zen eines ge­plan­ten Be­weis­schrit­tes nimmt in der lin­ken Spal­te die Ab­fol­ge der Ar­gu­men­ta­ti­on im Ge­samt­zu­sam­men­hang in den Blick und hat das Ziel, mit mög­lichst we­ni­gen, über­sicht­li­chen Schrit­ten aus­zu­kom­men (ver­ti­ka­le Sicht). 

Be­weis­va­ri­an­ten der Kreis­win­kel­sät­ze

Für die voll­stän­di­ge Be­weis­füh­rung müs­sen ver­schie­de­ne Fälle be­trach­tet wer­den.
Im vor­lie­gen­den Un­ter­richts­vor­schlag wer­den nach der Größe des Um­fangs­win­kels φ bei C und der Form des Drei­ecks ABC fol­gen­de Fälle un­ter­schie­den: 

Medienwelten

Bild­quel­le: ZPG IMP [CC BY-SA 3.0 DE]

Dabei wurde der Spe­zi­al­fall zum Satz des Tha­les als Fall 3) ans Ende ge­stellt, da er in der 4. Stun­de von den SuS im Rah­men eines kur­zen Auf­trags ein­ge­ord­net wird und hier­zu auf dem Ar­beits­blatt keine Gra­fik ein­ge­bun­den wurde. Die Un­ter­fäl­le zu Fall 1) wur­den an­hand der Lage des Um­kreis­mitt­tel­punkts M un­ter­schie­den:
 1.1. M im Drei­eck ABC.
 1.2. M liegt auf der Seite AC (oder der Seite BC) des Drei­ecks ABC.
 1.3. M liegt au­ßer­halb des Drei­ecks ABC.

Bei Fall 1.3. wurde auf dem  Ar­beits­blatt dar­auf ver­zich­tet, wei­ter zu un­ter­schei­den.
Die Be­weis­füh­rung ist beim Ma­te­ri­al der 4. Stun­de aus­führ­lich do­ku­men­tiert.

Ab­schlie­ßend sol­len hier noch aus­ge­wähl­te al­ter­na­ti­ve Be­weis­ide­en auf­ge­führt wer­den, um die Viel­falt an­zu­deu­ten und An­knüp­fungs­punk­te für Zu­satz­auf­trä­ge auf­zu­zei­gen (GFS, …):

Be­weis­idee 1, [SCHE], 2007, S.39

Be­weis­gang ohne Ver­wen­dung des Au­ßen­win­kel­sat­zes (AWS) bei Be­trach­tung des Voll­win­kels im Kreis­mit­tel­punkt:
μ+(180°−2φ1)+(180°−2φ2)=360° → φ=φ1+φ2=μ/2
ε+(180°−μ)=90° → ε=μ/2, ins­be­son­de­re ε= φ
Die­ses Vor­ge­hen bie­tet sich an, falls der AWS nicht be­han­delt wer­den soll.
Hin­weis: Der Be­weis wird für die Fälle 1.1) und 3) ge­führt. Die Fälle 1.3) und 2) wer­den in der Übungs­auf­ga­be 1 be­han­delt, der Fall 1.2) wird nicht ex­pli­zit auf­ge­führt.

 

Be­weis­idee 2, [SCHM], 1997, S. 173, ähn­lich wie Idee 1

Diese Va­ri­an­te kommt bei der Ar­gu­men­ta­ti­on mit Sym­me­trie­über­le­gun­gen, der Win­kel­sum­me im Drei­eck und dem Er­gän­zungs­win­kel am Voll­kreis aus und könn­te daher auch gut im Un­ter­richt als Al­ter­na­tiv­be­weis ent­wi­ckelt wer­den.
Die Be­weis­fi­gur bleibt dabei noch re­la­tiv über­sicht­lich.
φ1=90°−δ1/2 bzw. φ2=90°−δ2/2
φ1+φ2=180°−(δ1+δ2)/2 = [360°−(δ1+δ2)] / 2 = μ/2
Hin­weis: Der Satz wird im Buch nur für den Fall 1.1. be­wie­sen.

Be­weis­idee 3, [HALB], 2016, S.9/10

Für das Drei­eck ABC wird die Gleich­heit von Um­fangs­win­kel φ im Punkt C und dem Seh­nen­tan­gen­ten­win­kel ε in Punkt A bzw. B di­rekt über die ge­streck­ten Win­kel an den Tan­gen­ten in den Punk­ten A, B und C her­ge­lei­tet. Das aus den drei Be­din­gun­gen re­sul­tie­ren­de Glei­chungs­sys­tem führt zu­sam­men mit der Win­kel­sum­me im Drei­eck ABC auf die Be­zie­hung ε=φ.
An­schlie­ßend wird für den Fall 1.1 ge­zeigt, dass  φ=μ/2 gilt
Hin­weis: Die Fall­un­ter­schei­dung ist hier nicht er­for­der­lich, da  ε=φ zuvor für alle Drei­ecke be­wie­sen wurde.


Be­weis­idee 4, [KRAT], 1993, S. 110

Zu­erst wird der "Win­kel­satz für Seh­nen­vier­ecke" be­wie­sen (In einem Seh­nen­vier­eck er­gän­zen sich ge­gen­über­lie­gen­de Win­kel zu 180°), aus dem dann der MWS ge­fol­gert wer­den kann. Dazu ver­wen­det man neben dem Seh­nen­vier­eck AC‘BC über der Sehne AB ein zwei­tes Vier­eck MPC‘Q. P bzw. Q sind die Mit­tel­punk­te der Stre­cken AC‘ bzw. C‘B. Die Ar­gu­men­ta­ti­on geht dann von den Mit­tel­senk­rech­ten der Stre­cken AC‘ und C‘B aus, die aus dem Mit­tel­punkt­swin­kel μ einen Win­kel hal­ber Weite "aus­schnei­den".

Hin­weis: In die­ser Ein­heit wurde der um­ge­kehr­te (für die SuS leich­ter nach­voll­zieh­ba­re) Weg ge­wählt und der Win­kel­satz für Seh­nen­vier­ecke aus dem Pe­ri­phe­rie­win­kel­satz ge­fol­gert.8

 

Be­weis­idee 5, [SCHW], 1981, S. 88

Bei die­ser Va­ri­an­te wird mit den bei­den Mit­tel­senk­rech­ten zu den Drei­ecks­sei­ten AC und BC ar­gu­men­tiert. Es gilt zu­nächst
δ=180°−φ (folgt aus der Win­kel­sum­me im Vier­eck PMQC). Daher hat auch der Ne­ben­win­kel von δ die Win­kel­wei­te φ.
E bzw. D lie­gen auf den Mit­tel­senk­rech­ten der Seh­nen BC bzw. CA und hal­bie­ren daher auch die Bogen BC bzw. CA. Des­halb be­trägt der zum Bogen BA zu­ge­hö­ri­ge Mit­tel­punkt­swin­kel 2δ und es folgt μ=360°−2δ =360°−2(180°−φ)=2φ
Hin­weis: Im Lehr­buch wird auch der Fall 1.3) mit Be­weis­fi­gur be­han­delt, der Fall 1.2) wird als Übungs­auf­ga­be emp­foh­len.

Be­weis­idee 6, ohne Quel­le

Eine ele­gan­te Rück­füh­rung des Fal­les 1.1) auf den Fall 1.2) (!) ge­lingt, wenn man wie im Bild den so­ge­nann­ten "Süd­pol" S ein­zeich­net und den be­wie­se­nen Spe­zi­al­fall 1.2) auf die Um­fangs­win­kel über den Bogen AS und SB an­wen­det. Da die Aus­sa­ge nach Fall 1.2) für jedes Teil­win­kel­paar φ1 und μ1 bzw. φ2 und μ2 gilt, muss sie auch für die zu­sam­men­ge­setz­ten Win­kel φ=φ1+φ2 bzw.  μ=μ1+μ2 gel­ten. Ana­log kann dann auch bei den Win­kel­dif­fe­ren­zen im Fall 1.3) ar­gu­men­tiert wer­den.



1Schü­le­rin­nen und Schü­ler wird im Fol­gen­den SuS ab­ge­kürzt.

2Er wird auch als Um­fangs­win­kel- oder Mit­tel­punkt­swin­kel­satz be­zeich­net und kann in­halt­lich enger oder wei­ter ge­fasst sein. Seine For­mu­lie­rung kann sich auf Kreis­seh­nen oder Kreis­bo­gen be­zie­hen.

3Die For­mu­lie­rung wurde (bis auf ein­zel­ne Fach­be­grif­fe) aus [SCHE], 2007, S.39, über­nom­men

4Wi­ki­pe­dia: "Kreis­win­kel", URL: https://​de.​wi­ki­pe­dia.​org/​wiki/​Kreis­win­kel , ab­ge­ru­fen am 23.4.2019

5Die App­lets der Geo­me­trie­ein­heit sind für SuS unter https://​ggbm.​at/​k7u4a­b9v ab­ruf­bar. Er­gän­zen­de App­lets für Lehr­kräf­te fin­det man in einem zwei­ten Geo­Ge­bra-Buch unter https://​ggbm.​at/​vz4v­t4bw.

6nach [LENG], "Ma­the­ma­tik Neue Wege 4 – Ar­beits­buch für Gym­na­si­en BW", Schro­edel, 2006, S. 76

7Dort wird das Prin­zip vor­ge­stellt und ex­em­pla­risch beim Be­weis des Satz des Tha­les an­ge­wen­det.
Die Grund­idee geht auf ame­ri­ka­ni­sche Di­dak­ti­ker zu­rück und wurde 2012 von Dirk Brock­mann-Behn­sen auf­ge­ar­bei­tet und wei­ter­ent­wi­ckelt. Die Zu­sam­men­fas­sung des Kon­zepts kann bei der Deut­schen Na­tio­nal­bi­blio­thek on­line ab­ge­ru­fen wer­den: "Zwei-Tore-Regel und Zwei-Spal­ten-Be­weis", BzMU13, 2012 (pdf) , https://​d-​nb.​info/​1105564797/​34, ab­ge­ru­fen am 22.4.2019

8Der Be­weis­gang für den "Win­kel­satz für Seh­nen­vier­ecke" ohne Ver­wen­dung der Kreis­win­kel­sät­ze ist bei den Er­läu­te­run­gen zu Auf­ga­be 3 der fünf­ten Stun­de do­ku­men­tiert.

 

Un­ter­richts­gang: Her­un­ter­la­den [odt][3 MB]

Un­ter­richts­gang: Her­un­ter­la­den [pdf][3 MB]

 

Wei­ter zu Un­ter­richts­ver­lauf