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Lehr­plan 1

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

Ein „Logik-Lehr­plan“ für die Schu­le

1 Ma­the­ma­ti­sche For­mu­lie­rung von Sät­zen

a) Der Sch. weiß, dass ein ma­the­ma­ti­scher Satz die Form „Wenn  [A] , dann [B]“ hat.

D.h. ein ma­the­ma­ti­scher Satz hat eine Vor­aus­set­zung und eine Be­haup­tung; beim Be­weis und bei der An­wen­dung des Sat­zes muss man sich über die Rich­tung im Kla­ren sein.

b) Der Sch. kann um­gangs­sprach­lich for­mu­lier­te Sätze in die „Wenn  [A] , dann [B]“ - Form über­setz e n.
Bei­spie­le:
For­mu­lie­re in „Wenn . . . , dann . . . „ –Form

(i) „Der Win­kel im Halb­kreis ist ein Rech­ter.“  
(ii) „Die Mit­tel­senk­rech­te ist die Orts­li­nie aller Punk­te, die von zwei ge­ge­be­nen Punk­ten den glei­chen Ab­stand haben.“ 
(Die For­mu­lie­run­gen a) und b) ver­schlei­ern die Aus­sa­ge des Sat­zes; be­son­ders bei b) ist m.E. nicht klar, wel­che Rich­tung ge­meint ist; oder sind beide Rich­tun­gen ge­meint?)

c) Der Schü­ler kann zwi­schen „Für alle .. „ und „Es gibt . . „ Aus­sa­gen un­ter­schei­den.
Bei­spiel: Der Graph der Funk­ti­on f mit f(x) = x² ist ach­sen­sym­me­trisch zur y-Achse, weil f(-a) = f(a) gilt. Hier fehlt der Aus­druck „für alle Zah­len a aus R“.

d) Der Sch. ver­steht den lo­gi­schen Ge­halt eines Sat­zes. 
Bei­spiel 1:
Der Satz „Wenn [ A ], dann [ B ]“ sei wahr.

Wel­che der Aus­sa­gen fol­gen aus die­sem Satz?
a) B ist wahr.
b) Es kommt nicht vor, dass A wahr ist und B nicht wahr ist.
c) Ent­we­der sind A und B beide wahr oder keine von Bei­den.
d) Es kommt nicht vor, dass B wahr und A nicht wahr ist.

Bei­spiel 2:
Der Satz  „Wenn ein Vier­eck ach­sen­sym­me­trisch ist, dann sind zwei In­nen­win­kel gleich weit“ ist wahr. Was folgt aus die­sem Satz?

a) Bei jedem ach­sen­sym­me­tri­schen Vier­eck gibt es zwei gleich weite Win­kel.
b) Es muss ach­sen­sym­me­tri­sche Vier­ecke geben, bei denen alle Win­kel gleich weit sind.
c) Wenn bei einem Vier­eck zwei Win­kel gleich weit sind, dann ist es ach­sen­sym­me­trisch.
d) Es gibt kein ach­sen­sym­me­tri­sches Vier­eck, das nicht zwei gleich­wei­te Win­kel hat.  


2 Um­keh­rung von Sät­zen

a) Der Sch. kann zu einem ma­the­ma­ti­schen Satz die Um­keh­rung bil­den.

b) Der Sch. weiß, dass man von der Wahr­heit eines Sat­zes nicht auf die Wahr­heit oder Falsch­heit der Um­keh­rung schlie­ßen kann.

Das ist ein gro­ßer in­tel­lek­tu­el­ler Schritt: Von der „ganz­heit­li­chen“ Sicht einer Si­tua­ti­on zur „kau­sa­len Sicht“ zur kom­men; nicht zu sagen: „Gleich­schenk­li­ges Drei­eck und glei­che Ba­sis­win­kel ge­hö­ren zu­sam­men“, son­dern: „Wenn in einem Drei­eck zwei gleich­lan­ge Sei­ten auf­tau­chen, dann muss es auch zwei gleich­gro­ße Win­kel geben“ (und um­ge­kehrt).

Bei­spiel:

Bilde die Um­keh­rung und gib an, ob der Satz bzw. seine Um­keh­rung wahr sind.
„Wenn in einem Vier­eck drei In­nen­win­kel gleich weit sind, dann ist es ein Recht­eck.“
„Wenn f´(a) = 0 und f´´(a) ≠ 0, dann hat f an der Stel­le a eine Wen­de­stel­le.“


3 De­fi­ni­tio­nen ver­ste­hen

a) Der Sch. soll den Um­fang einer De­fi­ni­ti­on be­stim­men kön­nen.

Bei­spiel: 
„Ein Vier­eck heißt Kreuz­vier­eck, wenn die Ge­ra­den durch ge­gen­über­lie­gen­de Ecken des Vier­ecks or­tho­go­nal sind.“
Zeich­ne mög­lichst viele Va­ri­an­ten von Kreuz­vier­ecken.

(Der Be­griff „Kreuz­vier­eck“ ist er­fun­den. Das ma­chen Ma­the­ma­ti­ker dau­ernd:  Die Ge­gen­stän­de der Ma­the­ma­tik sind Idea­li­sie­run­gen und der Ma­the­ma­ti­ker ist in der Wahl sei­ner Idea­li­sie­run­gen frei.)

b) Der Sch. kann Ober­griff und Un­ter­be­griff un­ter­schei­den.

Bei­spiel :
„Ein Vier­eck heißt Qua­drat, wenn alle vier In­nen­win­kel 90° be­tra­gen und alle vier Sei­ten die glei­che Länge haben.“
„Ein Vier­eck heißt Recht­eck, wenn alle vier In­nen­win­kel 90° be­tra­gen.“

Ober­be­griff: Recht­eck; Un­ter­be­griff: Qua­drat


4 Bei­spiel und Ge­gen­bei­spiel 

Der Sch. soll wis­sen, dass die Rich­tig­keit einer „Es gibt . . .“-Aus­sa­ge  mit der An­ga­be eines Bei­spiels be­wie­sen ist.

Der Sch. soll wis­sen, dass man die Falsch­heit eines Sat­zes mit einem Ge­gen­bei­spiel be­wei­sen kann.

Bei­spie­le:
Be­wei­se oder wi­der­le­ge die Aus­sa­gen
(i)  „ Zwei Vek­to­ren im Raum sind immer li­ne­ar un­ab­hän­gig.“
(ii) „Es gibt qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen, die keine Lö­sun­gen haben.“


5 De­duk­ti­ver Auf­bau

Der Sch. soll ein­se­hen, dass Sätze not­wen­dig aus an­de­ren Sät­zen (oder Axio­men) fol­gen, und dass man ma­the­ma­ti­sches Wis­sen in einer de­duk­tiv ge­ord­ne­ten Weise struk­tu­rie­ren kann. D.h. er kann in einem be­grenz­ten Um­fang de­duk­ti­ve Zu­sam­men­hän­ge nach­voll­zie­hen. (Lo­ka­les Ord­nen)

 

Lo­gisch-de­duk­tiv struk­tu­rie­ren – Eine ko­gni­ti­ve Her­aus­for­de­rung:
Her­un­ter­la­den [pdf] [358 KB]