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Zu­sam­men­hän­ge

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

Über­blick:  Der Zu­sam­men­hang zu den grund­le­gen­den geo­me­tri­schen Aus­sa­gen über

-  Glei­che Stre­cken­län­gen
-  Glei­che Win­kel­wei­ten
-  Par­al­le­li­tät
-  Glei­che Stre­cken­ver­hält­nis­se

Viele Aus­sa­gen der Geo­me­trie las­sen sich auf diese „Grund­aus­sa­gen“ zu­rück­füh­ren.

Wel­che Sätze stel­len einen Zu­sam­men­hang zwi­schen die­sen Aus­sa­gen her?    

Zusammenhänge

Dies setzt sich in der ana­ly­ti­schen Geo­me­trie fort. Auch dort lässt sich das Be­wei­sen nach den oben ge­nann­ten Aus­sa­gen struk­tu­rie­ren und mit Ver­fah­ren nach­wei­sen:

- Zeige Par­al­le­li­tät. Ver­fah­ren: Zeige, dass zwei Vek­to­ren
  Viel­fa­che von­ein­an­der sind. 

- Zeige glei­che Stre­cken­län­gen. Ver­fah­ren: Zeige, dass zwei Vek­to­ren
  gleich lang sind (bzw. iden­tisch, falls sie par­al­lel sind).

- Zeige ein Teil­ver­hält­nis. Ver­fah­ren: Stre­cken­zug.

Dazu kommt: Zeige Or­tho­go­na­li­tät. Ver­fah­ren: Zeige, dass das Skalar­pro­dukt zwei­er Vek­to­ren Null ist.


Bei­spiel zum Ein­satz der Stra­te­gi­en
Zeige: AP = BP.

Stra­te­gi­sche Über­le­gun­gen eines Schü­lers:
Wel­ches Be­weis­mit­tel kommt über­haupt  in Frage?
Wie setze ich die­ses Be­weis­mit­tel ein?

1) Ich ver­su­che kon­gru­en­te Drei­ecke zu fin­den, die je­weils eine der Sei­ten AP und BP ent­hal­ten.

Dazu muss ich Drei­ecke ein­zeich­nen.
Ver­mu­tung: Die Drei­ecke APM und PBM sind kon­gru­ent.
Be­weis: Ich ver­wen­de den KGS sws.
             Drei­eck APM     Drei­eck PBM
Seite s 1            AM  = Ra­di­us = BM
Win­kel w      Rech­ter Win­kel bei A bzw. B
Seite s            PM        =            PM
Da die Drei­ecke kon­gru­ent sind, stim­men Sie in allen ent­spre­chen­den Stü­cken über­ein, ins­be­son­de­re in der drit­ten Seite.
Also AP = BP.

 

2) Ich ver­su­che ein gleich­schenk­li­ges Drei­eck zu fin­den, das die Schen­kel AP und BP hat.
Ver­mu­tung: Das Drei­eck APB gleich­schenk­lig.
Be­weis: Ich muss zei­gen, dass die Ba­sis­win­kel bei A und B gleich weit sind.
Das geht so: AM = BM, also sind die Ba­sis­win­kel des Drei­ecks ABM gleich weit, z.B. α (S.​v.​gleichsch.D. 1).
Dann sind die Ba­sis­win­kel des Drei­ecks APB beide 90° - α, also gleich. Des­halb muss AP = BP sein (S.​v.​gleichsch.D. 2).

Strategische Überlegungen mit Zirkel und Lineal

Wenn die Schü­ler in die Lage ver­setzt wer­den, sol­che Be­wei­se mit den vor­ge­schla­ge­nen Hil­fen selbst zu „er­fin­den“, wer­den sie oft auf ver­schie­de­ne Lö­sungs­we­ge kom­men. In die­sem Fall von „me­tho­den­of­fe­ner“ Auf­ga­be soll­te man die Un­ter­richts­me­tho­de so wäh­len, dass ver­schie­de­ne Wege auch ge­winn­brin­gend dis­ku­tiert wer­den kön­nen.

 

 

Lo­gisch-de­duk­tiv struk­tu­rie­ren – Eine ko­gni­ti­ve Her­aus­for­de­rung:
Her­un­ter­la­den [pdf] [358 KB]