Erörterung der Aspekte des Beispiels

Strukturierung im Hinblick auf die überfachlichen Kompetenzbereiche „Problemlösen“ und „Begründen“

Etwas zum Sinn und zur Bedeutung der Geometrie als Wissenschaft

Das ursprüngliche Ziel der Geometrie (grch: geo-Erde; metrein-messen) ist die mathematische Beschreibung des Anschauungsraumes oder auch nur der Anschauungsebene. Solche, rein auf das Praktische ausgerichtete Tätigkeiten gab es schon in vorgriechischer Zeit. Das Vorgehen würde man aus heutiger Zeit als empirisch bezeichnen; die Richtigkeit der Aussagen wurde einfach am Ergebnis durch Nachmessen bestätigt.

Zwischen 600 v.Ch. und 300 v.Ch. entwickelt sich im griechischen Einflussbereich eine ganz neue Auffassung von Mathematik. In dem Buch „ Elemente “ von Euklid (325 – 270 v.Ch.) ist diese neue Art von Mathematik zum ersten Mal niedergelegt. Dieses Werk blieb bis heute das Vorbild für das Abfassen von mathematischen Abhandlungen.

Was ist das Neue? Die Richtigkeit von Aussagen über den Anschauungsraum sollte nicht mehr aufgrund empirischer Bestätigung erkannt werden, sondern aufgrund von lückenlosen logischen Begründungen, die auf fest umschriebene Grundsätze (Axiome und Postulate) zurückgehen. Das wissenschaftsgeschichtlich Neue, das uns hier gegenüber tritt, ist also ein deduktiver Aufbau. Die Eigenschaften der mathematischen Objekte sollten von vornherein klar festgelegt (definiert) werden, sodass die weitere Untersuchung rein logischer Natur sein konnte. An die Stelle der Empirie (der Erfahrung) sollte das Denken (die Vernunft) treten. Zum Beispiel sollte der Satz des Thales nicht deshalb wahr sein, weil in allen in der Praxis ausgemessenen Halbkreisen im Rahmen der Messgenauigkeit rechte Winkel auftreten, sondern weil sich dieser Sachverhalt lückenlos auf schon als wahr erwiesene Sachverhalte zurückführen lässt.

Im 19.Jahrhundert kamen neuartige Fragestellungen auf, die ihren Ausgang im sogenannten  Parallelenaxiom hatten. Das Parallelenaxiom macht im Gegensatz zu anderen Axiomen keine Aussage über einen von der Anschauung überblickbaren kleinen Bereich, sondern über den gesamten „unendlichen“ Verlauf von zwei Geraden. Diese Situation ist anschaulich längst nicht evident und führte zu einem gewissen Unbehagen darüber, ob dieses Axiom die Anschauungswelt richtig beschreibt. Seit dem Altertum hat man versucht, das Parallelenaxiom zu beweisen. Der Euklid-Kommentator Proklus (410 – 485) zeigte z.B. dass das Parallelenaxiom gleichwertig zum Winkelsummensatz für Dreiecke ist. Am Ende der ganzen Bemühungen stand dann die Einsicht, dass man eine Geometrie auch ohne dieses Parallelenaxiom aufbauen konnte. Gauß kam um 1816 zu der Erkenntnis, dass das Parallelenaxiom unabhängig von den anderen Axiomen bei Euklid ist, also aus diesen anderen Axiomen nicht beweisbar ist. Später kamen  Lobatschewskij und Bolyai zu denselben Ergebnissen.

Logisch-deduktiv strukturieren – Eine kognitive Herausforderung:
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