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Er­ör­te­rung der As­pek­te des Bei­spiels

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

Struk­tu­rie­rung im Hin­blick auf die über­fach­li­chen Kom­pe­tenz­be­rei­che „Pro­blem­lö­sen“ und „Be­grün­den“

Etwas zum Sinn und zur Be­deu­tung der Geo­me­trie als Wis­sen­schaft

Das ur­sprüng­li­che Ziel der Geo­me­trie (grch: geo-Erde; me­t­rein-mes­sen) ist die ma­the­ma­ti­sche Be­schrei­bung des An­schau­ungs­rau­mes oder auch nur der An­schau­ungs­ebe­ne. Sol­che, rein auf das Prak­ti­sche aus­ge­rich­te­te Tä­tig­kei­ten gab es schon in vor­grie­chi­scher Zeit. Das Vor­ge­hen würde man aus heu­ti­ger Zeit als em­pi­risch be­zeich­nen; die Rich­tig­keit der Aus­sa­gen wurde ein­fach am Er­geb­nis durch Nach­mes­sen be­stä­tigt.

Zwi­schen 600 v.​Ch. und 300 v.​Ch. ent­wi­ckelt sich im grie­chi­schen Ein­fluss­be­reich eine ganz neue Auf­fas­sung von Ma­the­ma­tik. In dem Buch „ Ele­men­te “ von Eu­klid (325 – 270 v.​Ch.) ist diese neue Art von Ma­the­ma­tik zum ers­ten Mal nie­der­ge­legt. Die­ses Werk blieb bis heute das Vor­bild für das Ab­fas­sen von ma­the­ma­ti­schen Ab­hand­lun­gen.

Was ist das Neue? Die Rich­tig­keit von Aus­sa­gen über den An­schau­ungs­raum soll­te nicht mehr auf­grund em­pi­ri­scher Be­stä­ti­gung er­kannt wer­den, son­dern auf­grund von lü­cken­lo­sen lo­gi­schen Be­grün­dun­gen, die auf fest um­schrie­be­ne Grund­sät­ze (Axio­me und Pos­tu­la­te) zu­rück­ge­hen. Das wis­sen­schafts­ge­schicht­lich Neue, das uns hier ge­gen­über tritt, ist also ein de­duk­ti­ver Auf­bau. Die Ei­gen­schaf­ten der ma­the­ma­ti­schen Ob­jek­te soll­ten von vorn­her­ein klar fest­ge­legt (de­fi­niert) wer­den, so­dass die wei­te­re Un­ter­su­chung rein lo­gi­scher Natur sein konn­te. An die Stel­le der Em­pi­rie (der Er­fah­rung) soll­te das Den­ken (die Ver­nunft) tre­ten. Zum Bei­spiel soll­te der Satz des Tha­les nicht des­halb wahr sein, weil in allen in der Pra­xis aus­ge­mes­se­nen Halb­krei­sen im Rah­men der Mess­ge­nau­ig­keit rech­te Win­kel auf­tre­ten, son­dern weil sich die­ser Sach­ver­halt lü­cken­los auf schon als wahr er­wie­se­ne Sach­ver­hal­te zu­rück­füh­ren lässt.

Im 19.​Jahrhun­dert kamen neu­ar­ti­ge Fra­ge­stel­lun­gen auf, die ihren Aus­gang im so­ge­nann­ten  Par­al­le­len­a­xi­om hat­ten. Das Par­al­le­len­a­xi­om macht im Ge­gen­satz zu an­de­ren Axio­men keine Aus­sa­ge über einen von der An­schau­ung über­blick­ba­ren klei­nen Be­reich, son­dern über den ge­sam­ten „un­end­li­chen“ Ver­lauf von zwei Ge­ra­den. Diese Si­tua­ti­on ist an­schau­lich längst nicht evi­dent und führ­te zu einem ge­wis­sen Un­be­ha­gen dar­über, ob die­ses Axiom die An­schau­ungs­welt rich­tig be­schreibt. Seit dem Al­ter­tum hat man ver­sucht, das Par­al­le­len­a­xi­om zu be­wei­sen. Der Eu­klid-Kom­men­ta­tor Pro­k­lus (410 – 485) zeig­te z.B. dass das Par­al­le­len­a­xi­om gleich­wer­tig zum Win­kel­sum­men­satz für Drei­ecke ist. Am Ende der gan­zen Be­mü­hun­gen stand dann die Ein­sicht, dass man eine Geo­me­trie auch ohne die­ses Par­al­le­len­a­xi­om auf­bau­en konn­te. Gauß kam um 1816 zu der Er­kennt­nis, dass das Par­al­le­len­a­xi­om un­ab­hän­gig von den an­de­ren Axio­men bei Eu­klid ist, also aus die­sen an­de­ren Axio­men nicht be­weis­bar ist. Spä­ter kamen  Lo­bat­schew­skij und Bo­lyai zu den­sel­ben Er­geb­nis­sen.

 

Lo­gisch-de­duk­tiv struk­tu­rie­ren – Eine ko­gni­ti­ve Her­aus­for­de­rung:
Her­un­ter­la­den [pdf] [358 KB]