Grundsätzliche Gedanken

Umsetzungsbeispiele zum Beweisen und Problemlösen in der Geometrie.

Zunächst grundsätzliche Gedanken zum Beweisen an der Schule.

1. Man soll und kann an der Schule nicht alles beweisen. Vor allem ist es nicht durchführbar, ein  vollständiges deduktives System aufzubauen. D.h. bewiesen werden nur begrenzte Zusammenhänge (Fachbegriff: Lokales Ordnen ).

2. Der Inhalt dessen, was man beweisen will, sollte immer schon vor dem Beweis einsichtig sein. Der Schüler sollte also schon vorher mit der Sache Erfahrungen gesammelt haben, eine Vermutung aussprechen können und innerlich die Richtigkeit der zu beweisenden Sache bejahen können.

3. Es muss eine Liste von Grundannahmen und Sätzen geben, die als Beweismittel verwendet werden. Eine solche Begründungsbasis ist nicht fest gegeben, sondern hängt vom Strand der Klasse ab. Es ist wichtig, dass diese Beweismittel im Klassenzimmer präsent sind. Das bedeutet: Die Beweismittel (die Problemlösemittel) werden zum Unterrichtsthema und „veröffentlicht“, z.B. auf Plakaten.   

4. Der Schüler sollte eine Anleitung erhalten, wie man mit diesen Grundsätzen beweist bzw. Probleme löst. Beweisideen sollten also nicht vom Himmel fallen, sondern sich aus Beweisstrategien ergeben.

5. Man sollte nicht beweisen, wenn für die Schüler überhaupt keine Beweisbedürftigkeit besteht. Die Beweisbedürftigkeit ist manchmal einfach zu motivieren, z.B. beim Satz des Thales, bei dem man zwar den 90°-Winkel nachmessen kann, aber doch gern wissen möchte, warum das immer so sein muss. Die Beweisbedürftigkeit kann manchmal schwer zu motivieren sein; z.B. wenn Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt im Dreieck bewiesen wurden, sagen die Schüler in einer Art Gewohnheitseffekt: Natürlich schneiden sich die Seitenhalbierenden auch in einem Punkt, was sonst ? Hier muss man zusätzlich motivieren, z.B. so: Man kann S auch bestimmen, wenn man nur eine Seitenhalbierende zeichnet.

6. Die verwendeten Hilfsmittel müssen einfacher als das zu Beweisende sein. Z.B. ist es in dieser Hinsicht fragwürdig, den Scheitelwinkelsatzes mithilfe einer Punktspiegelung zu beweisen.

7. Vermeiden sollte man sogenannte „Mausefallenbeweise“, bei denen sich der Lernende nur logisch in die Enge getrieben sieht und das Resultat anerkennen muss, ohne inhaltlich überzeugt worden zu sein. Zu dieser Kategorie gehören oft Widerspruchsbeweise.

Logisch-deduktiv strukturieren – Eine kognitive Herausforderung:
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