Lehrplan 1

Ein „Logik-Lehrplan“ für die Schule

1 Mathematische Formulierung von Sätzen

a) Der Sch. weiß, dass ein mathematischer Satz die Form „Wenn  [A] , dann [B]“ hat.

D.h. ein mathematischer Satz hat eine Voraussetzung und eine Behauptung; beim Beweis und bei der Anwendung des Satzes muss man sich über die Richtung im Klaren sein.

b) Der Sch. kann umgangssprachlich formulierte Sätze in die „Wenn  [A] , dann [B]“ - Form übersetz e n.
Beispiele:
Formuliere in „Wenn . . . , dann . . . „ –Form

(i) „Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter.“  
(ii) „Die Mittelsenkrechte ist die Ortslinie aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand haben.“ 
(Die Formulierungen a) und b) verschleiern die Aussage des Satzes; besonders bei b) ist m.E. nicht klar, welche Richtung gemeint ist; oder sind beide Richtungen gemeint?)

c) Der Schüler kann zwischen „Für alle .. „ und „Es gibt . . „ Aussagen unterscheiden.
Beispiel: Der Graph der Funktion f mit f(x) = x² ist achsensymmetrisch zur y-Achse, weil f(-a) = f(a) gilt. Hier fehlt der Ausdruck „für alle Zahlen a aus R“.

d) Der Sch. versteht den logischen Gehalt eines Satzes. 
Beispiel 1:
Der Satz „Wenn [ A ], dann [ B ]“ sei wahr.

Welche der Aussagen folgen aus diesem Satz?
a) B ist wahr.
b) Es kommt nicht vor, dass A wahr ist und B nicht wahr ist.
c) Entweder sind A und B beide wahr oder keine von Beiden.
d) Es kommt nicht vor, dass B wahr und A nicht wahr ist.

Beispiel 2:
Der Satz  „Wenn ein Viereck achsensymmetrisch ist, dann sind zwei Innenwinkel gleich weit“ ist wahr. Was folgt aus diesem Satz?

a) Bei jedem achsensymmetrischen Viereck gibt es zwei gleich weite Winkel.
b) Es muss achsensymmetrische Vierecke geben, bei denen alle Winkel gleich weit sind.
c) Wenn bei einem Viereck zwei Winkel gleich weit sind, dann ist es achsensymmetrisch.
d) Es gibt kein achsensymmetrisches Viereck, das nicht zwei gleichweite Winkel hat.  

2 Umkehrung von Sätzen

a) Der Sch. kann zu einem mathematischen Satz die Umkehrung bilden.

b) Der Sch. weiß, dass man von der Wahrheit eines Satzes nicht auf die Wahrheit oder Falschheit der Umkehrung schließen kann.

Das ist ein großer intellektueller Schritt: Von der „ganzheitlichen“ Sicht einer Situation zur „kausalen Sicht“ zur kommen; nicht zu sagen: „Gleichschenkliges Dreieck und gleiche Basiswinkel gehören zusammen“, sondern: „Wenn in einem Dreieck zwei gleichlange Seiten auftauchen, dann muss es auch zwei gleichgroße Winkel geben“ (und umgekehrt).

Beispiel:

Bilde die Umkehrung und gib an, ob der Satz bzw. seine Umkehrung wahr sind.
„Wenn in einem Viereck drei Innenwinkel gleich weit sind, dann ist es ein Rechteck.“
„Wenn f´(a) = 0 und f´´(a) ≠ 0, dann hat f an der Stelle a eine Wendestelle.“

3 Definitionen verstehen

a) Der Sch. soll den Umfang einer Definition bestimmen können.

Beispiel: 
„Ein Viereck heißt Kreuzviereck, wenn die Geraden durch gegenüberliegende Ecken des Vierecks orthogonal sind.“
Zeichne möglichst viele Varianten von Kreuzvierecken.

(Der Begriff „Kreuzviereck“ ist erfunden. Das machen Mathematiker dauernd:  Die Gegenstände der Mathematik sind Idealisierungen und der Mathematiker ist in der Wahl seiner Idealisierungen frei.)

b) Der Sch. kann Obergriff und Unterbegriff unterscheiden.

Beispiel :
„Ein Viereck heißt Quadrat, wenn alle vier Innenwinkel 90° betragen und alle vier Seiten die gleiche Länge haben.“
„Ein Viereck heißt Rechteck, wenn alle vier Innenwinkel 90° betragen.“

Oberbegriff: Rechteck; Unterbegriff: Quadrat

4 Beispiel und Gegenbeispiel 

Der Sch. soll wissen, dass die Richtigkeit einer „Es gibt . . .“-Aussage  mit der Angabe eines Beispiels bewiesen ist.

Der Sch. soll wissen, dass man die Falschheit eines Satzes mit einem Gegenbeispiel beweisen kann.

Beispiele:
Beweise oder widerlege die Aussagen
(i)  „ Zwei Vektoren im Raum sind immer linear unabhängig.“
(ii) „Es gibt quadratische Gleichungen, die keine Lösungen haben.“

5 Deduktiver Aufbau

Der Sch. soll einsehen, dass Sätze notwendig aus anderen Sätzen (oder Axiomen) folgen, und dass man mathematisches Wissen in einer deduktiv geordneten Weise strukturieren kann. D.h. er kann in einem begrenzten Umfang deduktive Zusammenhänge nachvollziehen. (Lokales Ordnen)

 

Logisch-deduktiv strukturieren – Eine kognitive Herausforderung:
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