Lehrplan 2

Die folgenden Lernziele sind deutlich anspruchsvoller. Es ist m.E. zweifelhaft, ob sie sinnvoll in der Unter-und Mittelstufe verfolgt werden können.

(6) Kontraposition

Der Sch. soll wissen, dass man die Wahrheit eines Satzes mit Kontraposition beweisen kann.  ( Q P ) (P Q)

(Der Sch. soll nicht die formale Kontraposition kennen, sondern „die Denke dahinter“.)

Beispiel:
Umkehrung des Satzes von Thales: „Wenn [P: Das Dreieck ABC hat bei C einen rechten Winkel], dann [Q: Die Ecke C eines Dreiecks liegt auf dem Halbkreis über AB]“.  

Zum Beweis der Umkehrung „Wenn P, dann Q“ zeigt man „Wenn nicht Q, dann nicht P“ (mit dem Satz des Thales und weiteren Hilfsmitteln wie der Dreiecksungleichung).

(7) Beweis durch Widerspruch

Der Sch. soll wissen, dass man die Wahrheit eines Satzes mittels Widerspruchsbeweis beweisen kann. (P P ) P.

Kommt in der Schule nur an wenigen Stellen vor, z.B. Beweis dass √2 irrational ist.

(8) Wahrheit in der Mathematik

Der Sch. weiß, dass „mathematische Wahrheit“ und „naturwissenschaftliche  Wahrheit“ ganz verschiedene Bedeutungen haben.

Was bedeutet das für die Schule und die mathematische Bildung überhaupt ?

Es ist eine bedeutende Aufgabe des Mathematikunterrichts, den Schülern diese spezifische Art des Denkens zu lehren. Konkret: Den Schülern an geeigneten Stellen zu zeigen, wie sich Aussagen nach klaren logischen Regeln aus Axiomen bzw. früheren Sätzen herleiten lassen.

Wenn sich also eine solche Gelegenheit bietet, gehört es zum Kernanliegen des Mathematikunterrichts, sie auch wahr zu nehmen. Eine solche punktuelle logische Vertiefung (Fachdidaktischer Begriff: Lokales Ordnen) ist möglich; nicht möglich und auch nicht Aufgabe der Schule ist das Erstellen einer vollständigen axiomatisch-deduktiv geordneten Theorie.

Dabei ist zu beachten: Die Schulung des deduktiven Denkens ist eine echte Langzeitaufgabe. Vor der Pubertät kann ein Kind so nicht denken. In dieser Zeit so etwas von ihm zu verlangen, wäre unprofessionell. In der Pubertät kann diese Denkart entwickelt werden, aber nur nach und nach. Der Schüler steht etwa in der Klasse 7 am Anfang seiner „deduktiven Ausbildung“. Man sollte also mit Augenmaß und wohldosiert vorgehen und insbesondere das deduktive Denken beim Schüler nicht voraussetzen, sondern es zum Thema einzelner Stunden oder Lerneinheiten machen.

Logisch-deduktiv strukturieren – Eine kognitive Herausforderung:
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