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Rolle der Kon­gru­enz­sät­ze

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

Wel­che Rolle spie­len die Kon­gru­enz­sät­ze für Drei­ecke im Rah­men der Be­grün­dungs­sys­te­me ?

Warum wird über­haupt die Kon­gru­enz von Fi­gu­ren ein­ge­führt?

Dazu ein wenig Theo­rie: Alle Be­grif­fe und Sätze der Schul­geo­me­trie bis Ende Kl. 7 wur­den mit Hilfe der Ab­bil­dun­gen bzw. der Sym­me­trie ent­wi­ckelt. Auch der wei­te­re Auf­bau der Kon­gru­enz­geo­me­trie könn­te zu­nächst auf der Basis der Ab­bil­dun­gen und der dar­aus ab­ge­lei­te­ten Sätze ge­leis­tet wer­den. Die­ses Vor­ge­hen wäre aber un­ge­schickt, da es viele Be­weis­si­tua­tio­nen gibt, bei denen das Be­wei­sen mit Ab­bil­dun­gen oder der Be­grün­dungs­ba­sis (II) sehr um­ständ­lich, hin­ge­gen das Be­wei­sen mit Kon­gru­enz­sät­zen re­la­tiv ein­fach ist.

Grob ge­sagt sind die Kon­gru­enz­sät­ze be­son­ders nütz­lich, wenn wie im Bei­spiel von Seite 4 die Stre­cken und Win­kel „weit von­ein­an­der ent­fernt“ sind.

Bei­spie­le, bei denen das Be­weis­mit­tel KGS ins Auge springt (Nr. 1 und 2).      

1)
Dreieck

Das Drei­eck ABC ist gleich­sei­tig. Von den Ecken wird je­weils die glei­che Stre­cke x ent­ge­gen dem Uhr­zei­ger­sinn ab­ge­tra­gen.

Zeige: Das Drei­eck A´B´C` ist  eben­falls gleich­sei­tig.

Be­weis­idee: Die Drei­ecke AA´C´, BB´A´  und CC´B` sind nach dem Kon­gru­enz­satz sws kon­gru­ent.

 

2)

Es sind zwei gleich­sei­ti­ge Drei­ecke wie in der Figur ge­ge­ben.  

Zeige:  Formel .

Be­weis­idee (1): Die Drei­ecke ARQ und PRB sind nach dem KGS sws kon­gru­ent.

Be­weis­idee (2):  Die Dre­hung um R mit Dreh­win­kel 60° bil­det B genau auf Q und P genau auf A ab.

3) Satz von Na­po­le­on: Er­rich­tet man über jeder Seite eines Par­al­le­lo­gramms ein Qua­drat, so bil­den auch die Qua­drat­mit­ten ein Qua­drat.

Hier sprin­gen die KGS nicht ins Auge, weil schlicht­weg keine Drei­ecke da sind. Hier hilft das struk­tu­rier­te Fra­gen (siehe S.23): Wel­che Mög­lich­kei­ten haben wir über­haupt, z.B. PQ = QR nach zu wei­sen? Viel­leicht mit dem Satz von der Mit­tel­senk­rech­ten? (Kann man ir­gend­wo eine Mit­tel­senk­rech­te ein­zeich­nen ?) Oder dem Satz vom gleich­schenk­li­gen Drei­eck ? (Kann man ir­gend­wo ein gleich­schenk­li­ges Drei­eck ein­zeich­nen?) Oder den Kon­gru­enz­sät­zen ? (Kann man ir­gend­wo Drei­ecke ein­zeich­nen, die ver­mut­lich kon­gru­ent sind?)     

Be­weis­idee: Die Drei­ecke PDE und RCQ sind nach sws kon­gru­ent.   

Beweisidee                                  


Die Kon­gru­enz­sät­ze sind mit der Be­grün­dungs­ba­sis (I) be­weis­bar. Die Be­weis­be­dürf­tig­keit ist al­ler­dings schwer zu mo­ti­vie­ren, wes­halb in der Schu­le die Kon­gru­enz­sät­ze bes­ser un­mit­tel­bar als aus der An­schau­ung ge­won­ne­ne „Axio­me“ zur bis­he­ri­gen Be­grün­dungs­ba­sis dazu ge­nom­men wer­den. Wich­tig ist m.E. je­den­falls, die KGS auch tat­säch­lich als Be­weis­mit­tel ein­zu­set­zen.

Zu­sam­men­fass­sung: Das Be­wei­sen wird we­sent­lich er­leich­tert, wenn man als Hilfs­mit­tel die Kon­gru­enz­sät­ze für Drei­ecke zur Ver­fü­gung hat. Üb­ri­gens sind in den Ele­men­ten von Eu­klid die Kon­gru­enz­sät­ze das zen­tra­le Be­weis­mit­tel.


Am Ende der Klas­se 8 ste­hen somit als Be­weis­mit­tel zur Ver­fü­gung:

  • Die Be­grün­dungs­ba­sis (I), die al­ler­dings immer mehr in den Hin­ter­grund rückt.
  • Die Zu­sam­men­hän­ge (II) und die dar­aus be­wie­se­nen Sätze.
  • Die Kon­gru­enz­sät­ze für Drei­ecke (III).


Kon­gru­enz­sät­ze für Drei­ecke (III)

(sss) Wenn in zwei Drei­ecken ent­spre­chen­de Sei­ten gleich lang sind, dann stim­men sie in allen ent­spre­chen­den Stü­cken über­ein. 

(sws) Wenn zwei Drei­ecke in zwei Sei­ten und dem ein­ge­schlos­se­nen Win­kel über­ein­stim­men, dann stim­men sie in allen ent­spre­chen­den Stü­cken über­ein. 

(wsw und sww) Wenn zwei Drei­ecke in einer Seite und zwei gleich­lie­gen­den Win­keln über­ein­stim­men, dann stim­men sie in allen ent­spre­chen­den Stü­cken über­ein. 

(ssw) Wenn zwei Drei­ecke in zwei Sei­ten und dem Ge­gen­win­kel der grö­ße­ren Seite über­ein­stim­men, dann stim­men sie in allen ent­spre­chen­den Stü­cken über­ein. 

 

Lo­gisch-de­duk­tiv struk­tu­rie­ren – Eine ko­gni­ti­ve Her­aus­for­de­rung:
Her­un­ter­la­den [pdf] [358 KB]