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Blick über den Tel­ler­rand

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

5. Ein Blick über den Tel­ler­rand: „Aka­de­mi­sche An­for­de­run­gen“ im hol­län­di­schen Ab­itur

Die fol­gen­de Auf­ga­be zu­sam­men mit den In­for­ma­tio­nen über das nie­der­län­di­sche Ab­itur ist ent­nom­men aus:

Of­fe­ne und rea­li­täts­be­zo­ge­ne Auf­ga­ben für den Ma­the­ma­tik­un­ter­richt, An­re­gun­gen aus der nie­der­län­di­schen Wis­kun­de, Hrsg. KuMi NRW; Klett-Ver­lag 2007

In der nie­der­län­di­schen Ober­stu­fe gibt es die „Wis­kun­de A“ und die aka­de­mi­sche­re „Wis­kun­de B“. Seit 1999 ist in Wis­kun­de B die Eu­kli­di­sche Geo­me­trie wie­der im Lehr­plan der Ober­stu­fe und Thema im Ab­itur. Es sol­len da­durch lo­gi­sches Den­ken, kor­rek­tes Be­grün­den und ziel­ge­rich­te­tes Pro­blem­lö­sen ge­för­dert wer­den. Dabei wer­den als Be­weis­mit­tel im Ab­itur le­dig­lich die Grund­la­gen der Kon­gru­enz­geo­me­trie vor­aus­ge­setzt, wie sie bei uns bis zur ach­ten Klas­se ge­lehrt wird. Der An­spruch der Auf­ga­ben liegt nicht in Be­reich des Wis­sens oder von Ver­fah­ren , son­dern im Auf­fin­den eines mehr­schrit­ti­gen Be­weis­we­ges und in der kor­rek­ten Be­grün­dung und Dar­stel­lung der ein­zel­nen Be­weis­schrit­te.

(Man sieht: Re­la­tiv wenig In­halt bei re­la­tiv viel Be­grün­dungs-Kom­pe­tenz und hohen ko­gni­ti­ven An­for­de­run­gen.) Ent­spre­chend muss die Kor­rek­tur und die Be­wer­tung der Auf­ga­ben wi­der­spie­geln, in wie weit die Be­grün­dungs-Kom­pe­tenz ent­wi­ckelt ist.

Auf­ga­be: Auf einer Ge­ra­den (Ex­amen 2002)

In Ab­bil­dung 1 sind zwei sich be­rüh­ren­de Krei­se c 1 und c 2 ein­ge­zeich­net mit den Mit­tel­punk­ten M 1 und M 2 . Der Be­rühr­punkt der bei­den Krei­se ist S. Die Ge­ra­de l be­rührt den Kreis c 1  in P und den Kreis c 2  in Q. Die ge­mein­sa­me Tan­gen­te an c 1 und c 2   schnei­det die Ge­ra­de l   im Punkt T.

zwei sich berührende Kreise 1        zwei sich berührende Kreise 2


Frage 1 (5 Punk­te)
Be­wei­se, dass die Punk­te P, Q und S auf einem Kreis lie­gen.
(Bem. von mir: Soll wohl „Be­wei­se, dass die Punk­te P,Q und S auf einem Kreis um T lie­gen.“ hei­ßen.)

Au­ßer­dem ist der Durch­mes­ser QR durch c 2 ge­ge­ben. Siehe hier­zu die Ab­bil­dung 2.

Frage 2 (6 Punk­te)
Be­wei­se, dass die Punk­te P, S und R auf einer Ge­ra­den lie­gen.

Lö­sung zur Auf­ga­be: Auf einer Ge­ra­den

Frage 1
(max. 5 Punk­te)

 

Punk­te

 

PST = SPT (Win­kel zwi­schen Sehne und Tan­gen­te)

2

 

● Daher ist PT=ST  (gleich­schenk­li­ges Drei­eck)

1

 

● Ana­log gilt ST=QT

1

 

● Daher lie­gen P, Q und S auf einem Kreis mit Mit­tel­punkt T

1

al­ter­na­tiv:

   
 

M 1 PT = TSM 1 = 90°;  Formel ; Formel

1

 

● Daher ist das Drei­eck M 1 PT kon­gru­ent mit Drei­eck M 1 ST (Kon­gru­enz­satz SSW g )

1

 

● Daher ist Formel

1

 

● Ana­log gilt Formel

1

 

● Also lie­gen P,Q und S auf einem Kreis mit dem Mit­tel­punkt T.

1

(Bem. von mir: Es gibt noch einen wei­te­ren Lö­sungs­weg, der den Kehr­satz des S.​v.​Tha­les be­nützt.)

Frage 2

(max. 6 Punk­te)

 

Punk­te

 

Formel PSQ = 90° (Satz von Tha­les)

2

 

Formel QSR = 90° (Satz von Tha­les)

2

 

Formel PSQ + QSR = 180°

1

 

● Daher lie­gen P, S und R auf einer Ge­ra­den.

1

al­ter­na­tiv:

   
 

● M 1 S und M 2 S ste­hen beide senk­recht auf der ge­mein­sa­men Tan­gen­te in S, daher liegt S auf Formel

1

 

● M 1 P und RQ ste­hen senk­recht zu l , daher ist M 1 P║RQ

1

 

Formel PM 1 M 2 = Formel RM 2 M 1 (Wech­sel­win­kel)

1

 

Formel PSM 1 = 0,5 . (180° - RM 2 M 1 ) und
    Formel RSM 2 = 0,5 . (180° - RM 2 M 1 )

1

 

● Daher ist   Formel PSM 1 = Formel RSM 2

1

 

● Daher lie­gen P, S und R auf einer Ge­ra­den, denn P und R lie­gen nicht auf der­sel­ben Seite von M 1 M 2 .

1

Ein Be­weis als Klas­sen­ar­beits­auf­ga­be ?

Wenn man Be­grün­dungs­kom­pe­tenz in einer Klas­sen­ar­beit prü­fen möch­te, ist m.E. sehr zu be­ach­ten: In Prü­fungs­si­tua­tio­nen hat man sel­ten Licht­blit­ze und Ideen, wes­halb man sol­che auch nicht ein­for­dern darf. Das ist auch gar nicht not­wen­dig. Denn wir wol­len ja keine „Licht­blitz­kom­pe­tenz“ prü­fen, son­dern „Be­grün­dungs­kom­pe­tenz“. Der Schü­ler soll­te also in der Lage sein, mit durch­schnitt­li­cher Kennt­nis der Be­weis­mit­tel die Be­weis­idee zu fin­den.

Be­wer­ten kann man dann fol­gen­des (wie in der Ab­itur-Auf­ga­be ver­sucht):

- Ist das Be­weis­mit­tel grund­sätz­lich rich­tig ge­wählt und ver­wen­det?

- Sind für jeden Schritt stich­hal­ti­ge Be­weis­mit­tel an­ge­ge­ben?

- Ist die Ab­fol­ge der Be­weis­schrit­te strin­gent?

 

Lo­gisch-de­duk­tiv struk­tu­rie­ren – Eine ko­gni­ti­ve Her­aus­for­de­rung:
Her­un­ter­la­den [pdf] [358 KB]