Winkelsumme

3. Beispiele zur Winkelsumme und Schülerbeteiligung beim Beweisen

Bei Beweisen im Unterricht gibt es die spezifische Schwierigkeit der zu starken Lehrerzentrierung. Hier Vorschläge, wie Beweisidee und Beweis z.T. schülerzentriert erarbeitet werden können.

Arbeitsblatt zur „Winkelsumme im Dreieck“

1. Die Geraden in der Figur sind jeweils parallel. Berechne möglichst viele in der Figur vorkommende Winkelweiten und trage sie ein. Verwende für  gleichgroße Winkel jeweils gleiche Farben.

2. Wähle in der Figur ein Dreieck aus und addiere die drei Innenwinkel dieses Dreiecks. Ergebnis?

3. Schreibe möglichst viele in der Figur vorkommende Winkel ausschließlich mithilfe der Buchstaben α, β und γ . Wie kann man nachweisen, dass α + β + γ = 180° ist?

Den nun folgenden Schritt, in dem es um die Beweisnotwendigkeit geht, muss der Lehrer einfordern (kognitive Aktivierung), die Schüler würden von selbst diesen Schritt nicht machen können. Außerdem muss der Lehrer aufzeigen, wie man auf eine Beweisidee kommen kann und was mit einem Beweis letztlich gezeigt wird.

(Mit einer solchen Vorgehensweise kann Vorurteilen über die Mathematik begegnen, wie z.B.

• Beim Beweisen und Problemlösen braucht man die richtige Idee; leider haben die nicht alle.

• Beweise kann ein normaler Mensch nicht kapieren.)

Wenn wir zeigen wollen, dass in jedem vorgegebenen Dreieck die Winkelsumme 180° beträgt, dann müssen wir von einem beliebigen Dreieck ausgehen, nicht von einer Parallelenfigur.

Hier habt ihr ein Dreieck:

Wie beweist man die Behauptung für dieses Dreieck?

Es ist nach der Bearbeitung des Arbeitsblattes nahezu unausweichlich, dass die Schüler auf die Idee mit der Parallelen bzw. Parallelenschar kommen. Der L. kann außerdem sagen (und stellt diese Sätze plakativ vor):

Wir wollen eine Aussage über Winkel aus schon bekannten Sätzen herleiten. Die einzigen uns bekannten Sätze, die auf Winkelweiten schließen, sind

• der Satz vom Nebenwinkel (er schließt auf 180°!)

• der Satz vom Stufenwinkel

• der Satz vom Wechselwinkel (beide benötigen eine Parallele!)

• der Satz vom Scheitelwinkel

(Konsequent gedacht, lautet nun das Ergebnis der Stunde nicht „Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck ist 180°“, sondern etwas in dieser Art: „Aus den Sätzen vom Stufen-Wechsel-Scheitel-Neben-Winkel kann man herleiten, dass die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck 180° betragen muss“.)

Logisch-deduktiv strukturieren – Eine kognitive Herausforderung:
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