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Win­kel­sum­me Vier­eck

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Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

4. Ex­kurs zur Win­kel­sum­me im Vier­eck

Wenn man schon ein­mal bei der Win­kel­sum­me ist, wird tra­di­tio­nell an­schlie­ßend die Win­kel­sum­me im Vier­eck be­wie­sen. Als Be­weis­me­tho­de wird die Auf­tei­lung in zwei Drei­ecke vers­wen­det. Die­ses Vor­ge­hen ist m.E. an die­ser Stel­le pro­ble­ma­tisch: Der Be­weis der Win­kel­sum­me im Drei­eck ist oft der erste rich­ti­ge Be­weis im Leben eines Schü­lers in dem Sinne, dass das Vor­ge­hen lü­cken­los mit frü­he­ren Sät­zen be­grün­det wird. Ins­be­son­de­re hat er den Er­folg ge­se­hen, den ein stra­te­gi­scher Blick bzw. eine Ana­ly­se der frü­he­ren Sätze hin­sicht­lich der Be­weis­idee „zeich­ne eine Hilfs­par­al­le­le“ hat.  

Und jetzt kommt der zwei­te Be­weis im Leben eines Schü­lers mit einer ganz neuen Be­weis­idee! Wobei es doch auch mit Par­al­le­len geht:

Be­weis der Win­kel­sum­me im Vier­eck mit der Par­al­le­len­me­tho­de
Beweis der Winkelsumme

δ wird in δ 1 und δ 2 auf­ge­teilt;

δ 2 = δ 2 ´  und  α = α´ und β = β´ (Wech­sel­win­kel an Par­al­le­len)

Ecke C:  δ 2 + γ + β = 180°

Ecke D:  α +δ 1        = 180°     

α + β + γ + δ           = 360°

Diese Me­tho­de kann theo­re­tisch auch bei Fünf­ecken, Sechs­ecken usw. an­ge­wen­det wer­den. Was aber nicht ge­lingt, ist ein all­ge­mei­ner Be­weis für die Win­kel­sum­me im n-Eck. Die­ser mit müss­te mit voll­stän­di­ger In­duk­ti­on ge­führt wer­den,  wobei im In­duk­ti­ons­schritt ein Drei­eck dazu ge­nom­men wird. Erst hier, wenn man einen Satz über die Win­kel­sum­me im n-Eck be­wei­sen will, ist also die Zer­le­gung in Drei­ecke not­wen­dig.

Im Sinne einer Kom­pe­tenz­ent­wick­lung ist also nicht das pri­mä­re Ziel, In­hal­te zu er­schlie­ßen (im Sinne von: Wich­tig ist, dass die Schü­ler die Win­kel­sum­me im Vier­eck ken­nen), son­dern die de­duk­ti­ven Fä­hig­kei­ten des Schü­lers wei­ter zu ent­wi­ckeln. Na­tür­lich ist auch die Zer­le­gung in Drei­ecke ein wich­ti­ges Be­weis- und Pro­blem­lö­se­prin­zip und man soll­te es auch brin­gen. Nur nicht gleich bei der Win­kel­sum­me im Vier­eck.

 

Lo­gisch-de­duk­tiv struk­tu­rie­ren – Eine ko­gni­ti­ve Her­aus­for­de­rung:
Her­un­ter­la­den [pdf] [358 KB]