Vertiefung

3.1 Beispiel Nullstellen

• Nullstellen werden zunächst definiert.
• Das Auffinden von Nullstellen kann durch Ausklammern oder durch Substitution (in einfachen Fällen) aufgefunden werden. (Vernetzung mit Bildungsstandards 8 und 10, Leitidee 3: Vernetzung)
• Das Auffinden von Nullstellen kann am Schaubild erfolgen; dies bietet sich bei trigonometrischen Funktionen an. Der grafikfähige Taschenrechner kann die Vermutungen bestätigen. Die allgemeine Formel lässt sich dann leicht ableiten. (Aufstellen eigener Terme, Bildungsstandards 8, Leitidee 9: Modellieren)
• Auch das Nichtvorhandensein von Nullstellen (a ^x , x ¹ , x ² ) kann wie oben beschrieben erarbeitet werden.
• Funktionsterme, die sich nicht (oder nur schwer) untersuchen lassen, löst man hinsichtlich der Nullstellen mit dem grafikfähigen Taschenrechner. Dabei können Existenz und Anzahl möglicher Nullstellen zum Thema von entdeckendem Lernen gemacht werden.
• Bei ganzrationalen Funktionen kann auf das Verfahren der Polynomdivision verzichtet werden.
• Dennoch kann beispielsweise auf verschiedene Weise der Satz über die maximale Nullstellenzahl einer ganzrationalen Funktion nten Grades abgeleitet werden:
  1. über die Definition des Grades und die Anzahl möglicher Linearfaktoren
  2. über das Betrachten der Schaubilder von Monomen können Vermutungen über die Anzahl der Nullstellen aufgestellt werden. Diese kann dann für ganzrationale Funktionen bestätigt werden.
  3. über das Schaubild ganzrationaler Funktionen ungeraden Grades und Beispiele ganzrationaler Funktionen geraden Grades lassen sich Sätze über die minimale Nullstellenanzahl ableiten.
• An die Nullstellenbestimmung durch Näherungsverfahren (Intervallhalbierung, Newton) ist im Rahmen des Kerncurriculums nicht gedacht, kann aber sinnvoll in das Schulcurriculum integriert werden.

3.2 Wirkung von Parametern

Um die Wirkung von Parametern zu verstehen, ist es sicher nicht nötig alle zur Verfügung stehenden Funktionsklassen hinsichtlich aller möglicher Parameter zu untersuchen. Man wird sich auf Fälle beschränken, in denen die Schülerinnen und Schüler in angemessener Weise (mit und ohne Hilfsmittel) die Wirkung am Funktionsterm und am Schaubild erfassen können.

Dabei bietet es sich zum Beispiel an die Sinus- und Cosinus-Funktion in x-Richtung zu strecken, bei weiteren Funktionsklassen kann man darauf verzichten. Eine Streckung in y-Richtung lässt sich in geeigneter Weise an den oben genannten Funktionsklassen behandeln. Der GTR oder ein CAS erleichtern das entdeckende Lernen an dieser Stelle in vielfältiger Weise.

Curriculare Analyse Beispiel „Funktionaler Zusammenhang:
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