Analyse von ausgewählten Standards

1. Geht man von der Menge der rationalen Zahlen und ihrer Dezimaldarstellung aus, so kann durch die Konstruktion von nicht abbrechenden, nicht periodischen Dezimalzahlen wie z. B. 0,1010010001... oder einer Konstruktion durch Würfelwurf 0,2356451142... dieser Standard schnell erreicht werden.
2. Wählt man den Zugang über die Quadratverdopplung, so kann schnell geometrisch einsichtig gemacht, dass es ein Quadrat mit Flächeninhalt 2 gibt, man also eine zugehörige Seitenlänge des Quadrats angeben können muss. Die beispielhafte Intervallschachtelung zeigt, wie man sich diese Zahl „beliebig genau“ konstruieren kann, das Quadrieren dieser Zahl aber nie auf 2, 0 führen kann.
   Der unterrichtliche Zeitaufwand ist höher als bei 1. Das näherungsweise Berechnen von  wird exemplarisch durchgeführt.
   Bemerkung: M. E. sollte man sowohl auf den 1. als auch auf 2. Aspekt unterrichtlich eingehen.
   Auf das näherungsweise Berechnen von , ... kann m. E. verzichtet werden.
3. Setzt man den Gedankengang von 2. fort, so wird nun noch der Beweis angefügt, dass  keine rationale Zahl ist.
   Dies benötigt unterrichtlich sicher einige Zeit, wenn man bedenkt, dass die Teilbarkeitslehre in G8 kein Standard ist, und damit dieser Beweis eine gute Vorarbeit benötigt. Aber: Man bedient damit zugleich einen weiteren Standard, nämlich: Leitidee „Vernetzung“ – Prozesse des Begründens verstehen und anwenden!
   

Hier ist besonders zu beachten, welchen Aufbau die Terme haben sollen, die vereinfacht werden und in wie weit das teilweise Wurzelziehen geübt werden soll. Insbesondere ist im Schulcurriculum zu klären, ob das rational Machen des Nenners ein Thema ist.

Grundsätzlich geht es bei diesem Standard m. E. darum, dass Grundkompetenzen im Vordergrund stehen (vgl. z. B. WADI)!

3. Fazit: Fragen für die Unterrichtsvorbereitung

• Welcher Schwierigkeitsgrad ist für das Bearbeiten ohne Hilfsmittel unverzichtbar?
  Basiskompetenzen festlegen - An Beispielen festmachen:
  Das wollen wir noch – Das ist verzichtbar- Das wollen wir nicht mehr
  Vergleich mit den WADI-Aufgaben möglich
  „Reduzierung der formalen Fertigkeiten“
• Gibt es fachwissenschaftliche Details, auf die man aus unterrichtlicher Sicht verzichten kann?
  Reicht ev. eine Plausibilitätsbetrachtung oder das Arbeiten am Beispiel?
  z. B. Intervallschachtelungsprinzip, ausgewählte Beweise
  „Verzicht auf fachwissenschaftliche Vollständigkeit“
• Müssen alle inhaltlichen Details jetzt behandelt werden?
  Müssen sie überhaupt noch behandelt werden?
  Falls ja, in welchem Umfang?
  z. B. Gleichungslehre, insbesondere Wurzelgleichungen
• „Kein Aufbau von Vorratswissen über längere Zeiträume“
• Müssen alle inhaltlichen Details jetzt behandelt werden?
  Wann könnten sie sinnvoll wieder an einer anderen Stelle aufgegriffen werden?
  z. B. Verständnis des Wurzelbegriffs jetzt, einfache Wurzelgleichungen später
• „Spiralprinzip“
• Gibt es für eine Begriffsbildung geeignete Problemstellungen?
  Statt: Gibt es Aufgaben zum vorgefertigten Begriff?
  z. B. Quadratverdopplung-Intervallschachtelung
• Welche typischen Fehler könnten auftauchen?
  Z. B. beim Addieren von Quadratwurzeln
  „Aus Fehlern lernen“
• Soll eine weitere Leitidee gefördert werden?
  Z. B. Leitidee „Vernetzung“ - Beweisen

Curriculare Analyse Beispiel Reelle Zahlen: Herunterladen [pdf] [242 KB]

Quellen
[2] Bildungsplan 2004