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Ker­zen

In­fo­box

Diese Seite ist Teil einer Ma­te­ria­li­en­samm­lung zum Bil­dungs­plan 2004: Grund­la­gen der Kom­pe­tenz­ori­en­tie­rung. Bitte be­ach­ten Sie, dass der Bil­dungs­plan fort­ge­schrie­ben wurde.

Zwei Ker­zen bren­nen mit un­ter­schied­li­cher Ge­schwin­dig­keit ab:  Kerze A ist 36 cm lang und brennt mit 3 cm pro Stun­de ab. Kerze B ist 10 cm lang und brennt mit 1 cm pro Stun­de ab. Wann sind die Ker­zen gleich lang? Stel­le eine Glei­chung auf.


Auf­ga­ben­va­ria­ti­on: Ker­zen

Zwei Ker­zen bren­nen mit un­ter­schied­li­cher Ge­schwin­dig­keit ab: Kerze A ist 36 cm lang und brennt mit 3 cm pro Stun­de ab, Kerze B ist 10 cm lang und brennt mit 1 cm pro Stun­de ab. Wann sind beide Ker­zen gleich lang? Stel­le eine Glei­chung auf.

Wie schnell brennt eine Kerze ab? Wel­che As­pek­te die­ses Vor­gangs könn­te man ma­the­ma­tisch er­fas­sen? Wel­che Daten über Ker­zen ste­hen zur Ver­fü­gung? Wel­che Fra­gen könn­te man ma­the­ma­tisch zu lösen ver­su­chen?

Wie än­dert sich die Länge einer Kerze mit der Zeit? Wie hängt das mit der Form der Kerze zu­sam­men? Mache An­nah­men und Ver­ein­fa­chun­gen, so­dass du den Vor­gang des Ab­bren­nens einer Kerze ma­the­ma­tisch be­schrei­ben kannst.

Wähle für eine dünne lange und eine dicke kurze Kerze sinn­vol­le Werte für Länge und Ab­brenn­ge­schwin­dig­keit und be­rech­ne, wann beide Ker­zen gleich lang sind.

Kerze 1 brennt in fünf Stun­den von 36 cm auf 11 cm ab. Kerze 2 brennt in zwei  Stun­den von 10 cm auf 8 cm ab. Wie än­dert sich die Länge der Ker­zen mit der Zeit? Be­schrei­be den Vor­gang des Ab­bren­nens mit der Zeit. Schil­de­re und be­grün­de die An­nah­men, die du ge­macht hast.

Kerze 1 brennt in fünf Stun­den gleich­mä­ßig von 36 cm auf 11 cm ab. Kerze 2 brennt in zwei  Stun­den gleich­mä­ßig von 10 cm auf 8 cm ab. Wie soll­ten die Ker­zen be­schaf­fen sein, damit man diese An­nah­men ma­chen kann?

Zwei Ker­zen bren­nen gleich­mä­ßig ab. Ihre Länge y be­tra­ge nach x Stun­den:
Kerze A:          y =  36 - 3∙x
Kerze B:          y = 10 - x


Lö­sung zur Auf­ga­be Ker­zen

Bei­spiels­wei­se führt der An­satz 36 – 3 · x = 10 – x auf die Lö­sung x = 13. Dies ist im Sinne der Auf­ga­ben­stel­lung aber na­tür­lich keine Lö­sung, da im Sinne der be­rech­ne­ten Lö­sung der Glei­chung bei­den Ker­zen - 3 cm lang wären. Der Über­set­zungs­schritt von der „ma­the­ma­ti­schen Welt“ in die „reale Welt“ muss also bei der Va­li­die­rung – un­ab­hän­gig vom ge­wähl­ten Mo­dell und Lö­sungs­weg – zum Wi­der­spruch füh­ren und die Un­lös­bar­keit als Ant­wort haben.

Ana­ly­se zur Auf­ga­be Ker­zen

Bil­dungs­stan­dards

kon­kre­te Auf­ga­be

BS 8 LI 9 Mo­del­lie­ren: inner- und au­ßer­ma­the­ma­ti­sche Sach­ver­hal­te mit­hil­fe von Ta­bel­len, Ter­men oder Gra­phen be­schrei­ben und um­ge­kehrt Ta­bel­len, Terme und Gra­phen in Bezug auf einen Sach­ver­halt in­ter­pre­tie­ren

Über­set­zung der Re­al­auf­ga­be in ein pas­sen­des ma­the­ma­ti­sches Mo­dell

BS 8 LI 8 Ver­net­zung: ver­schie­de­ne Dar­stel­lungs­for­men einer Funk­ti­on in­ein­an­der über­set­zen;

je nach Mo­dell kön­nen ver­ba­le Vor­schrif­ten in Ta­bel­len, Terme, Dia­gram­me über­setzt wer­den

BS 8 LI 2 Al­go­rith­mus: Glei­chun­gen und Un­glei­chun­gen er­ken­nen sowie ma­nu­ell, gra­fisch und mit­hil­fe des GTR lösen;

li­nea­re Glei­chungs­sys­te­me ma­nu­ell, gra­fisch und mit­hil­fe des GTR lösen.

ein mög­li­cher, al­ge­brai­scher Lö­sungs­weg der ge­ge­be­nen Si­tua­ti­on

Va­ria­ti­ons­mög­lich­kei­ten : siehe oben. Durch die Auf­ga­ben­stel­lung ist eine Viel­zahl von Va­ria­tio­nen ge­ge­ben.

Ein­satz von Hilfs­mit­teln : --

Me­tho­dik : ---

Fä­cher­über­grei­fen­der Un­ter­richt : ---

Kom­men­tar : Durch die Va­ria­ti­on der Auf­ga­ben­stel­lung ist ein na­he­zu be­lie­bi­ges Öff­nen der Auf­ga­be mög­lich. Die Mo­dell­bil­dung kann ge­lenkt er­fol­gen („Stel­le in einem Schau­bild dar.“, „Er­stel­le eine Ta­bel­le.“) oder aber den Schü­le­rin­nen und Schü­lern Frei­hei­ten las­sen.

An­for­de­rungs­be­reich :

Quelle : Büch­ter/Leu­ders (2005): „Ma­the­ma­tik­auf­ga­ben selbst ent­wi­ckeln“, Cor­nel­sen Scrip­tor
mit freund­li­cher Ge­neh­mi­gung © Cor­nel­sen Ver­lag Scrip­tor

 

Ker­zen: Her­un­ter­la­den [pdf] [160 KB]