Beispiele

Einige Beispiele, die das zuvor geschriebene verdeutlichen sollen.

Aufgabe: Monikas Vater hat fünf Töchter: Lulu, Lala, Lele und Lolo. Wie heißt die fünfte Tochter?

Diese Aufgabe hat offensichtlich keinen tief-mathematischen Hintergrund, sondern entspringt einer der unsäglichen Fernsehgewinnshows, in denen Zuschauer zum Anrufen verleitet werden sollen.

Eignen tut sich diese Aufgabe aber eventuell durchaus, um die Frage der Strukturierung bei der Modellbildung (von der Realsituation zum Realmodell) zu beschreiben. Diese Aufgabe ist offensichtlich überbestimmt, denn die Angabe der Namen der vier Töchter Lulu, Lala … ist zur Lösung nicht notwendig.

Schülerinnen und Schülern kann man so einsichtig machen, dass stets ein Auge darauf zu haben ist, was zur Lösung eines Problems wirklich beiträgt und was nicht (die fünfte Tochter heißt Monika …).

Aufgabe: Am Hausmeisterkiosk werden in der großen Pause belegte Brötchen, Obst und Getränke verkauft. Wie groß muss der Vorrat an einem Schultag wohl sein.

Eine unterbestimmte Aufgabe, denn offensichtlich fehlen Angaben um eine wie auch immer geartete, exakte Lösung zu bestimmen.

In vielfältiger Weise kann man hier in der Phase der Strukturierung die Realsituation modellieren. Einfach sind die Anzahl potentieller Käufer zu bestimmen (die Anzahl der Schülerinnen und Schüler der Schule), weniger einfach wird es, wenn man die Kaufgewohnheiten der Schülerschaft abschätzen soll.

So können sich interessante Diskussionen entwickeln, die sowohl dem mathematischen als auch den realen Problemcharakter beschreiben. So ist zu diskutieren, ob der Hausmeisterkiosk eher einen zu großen Vorrat anlegt (bei Getränken unproblematisch), bei verderblichen Lebensmitteln etwas kalkuliert etc.

Die Aufgabe lässt sich in offensichtlicher Weise erweitern beziehungsweise durch zusätzliche Angaben steuern.

Aufgabe:  Rekordnagel. Um ins Guinnessbuch der Rekorde eingetragen zu werden, will Herr Nagel vor seinem Gasthaus einen überdimensional großen Stahlnagel als Sonnenuhr aufstellen. Er hat sich schon mal mit dem Computer ein Bild gemacht, wie das aussehen soll.

Der Nagel ist etwa 7 m lang und hat einen Durchmesser von etwa 22 cm.  Der zum Aufstellen des Nagels zur Verfügung stehende Entladekran des LKW kann maximal eine Masse von 1,5 t heben.  (Hinweis: 1 cm³ Stahl wiegt 7,85 g.)

Kann man den Nagel mit diesem LKW aufstellen? Schreibe auf, wie du vorgehst.
( Bildungsstandards Mathematik: konkret, mit freundlicher Genehmigung © Cornelsen Verlag Scriptor)

Die Mathematisierung /Modellbildung läuft hier auf die Annahme hinaus, dass der Nagel annähernd als Zylinder zu modellieren ist. Ist dieser Schritt getan, so schließt sich allgemein das mathematische Arbeiten an. Im Speziellen ergibt sich das Volumen des so modellierten Nagels ungefähr zu V = π · (0,11 m)² · 7 m ≈ 0,266 m³. Der Nagel wiegt dann ungefähr 0,266 m³ ·  7,85 g/1 cm³  ≈ 2 t.

Nun ist die Schülerschaft geneigt, das zweimal unterstrichene Ergebnis als verdienten Lohn der Bemühungen anzusehen. Nichts desto Trotz ist auch in diesem einfachen Fall die Interpretation der Lösung. Wegen der bestehenden Ungleichung kann der Entladekran also nicht genutzt werden.

Aufgabe:  Jemand behauptet „Sindelfingen ist von Weil der Stadt 27 km“ entfernt. Nimm zu dieser Aussage Stellung.

Die Aufgabe kann natürlich in vielerlei Hinsicht variiert werden und legt seinen Schwerpunkt doch stets auf den letzten Schritt im zuvor skizzierten Modellierungskreislauf diskutiert werden – den der Validierung .

Eine kritische Reflexion schließt eine erfolgreiche Modellierung erst ab. In diesem Fall wäre also das Ergebnis auf Realitätsgehalt zu prüfen und liefert prompt eine Auflösung eines weit verbreiteten Irrtums, der sich mithilfe eines Routenplaners oder Kartenmaterial auflösen lässt. Hier zeigen sich also Möglichkeiten aufzuzeigen, wie trotz eines vollständigen Durchlaufs einer Modellierung ein Widerspruch zur Realsituation für Schülerinnen und Schüler sehr nachvollziehbar wird.

Dies findet sich allgemein in den Bildungsstandards in der Leitidee „Modellieren“ spiralcurricular wieder. In den Standards 10 findet sich dazu die Kompetenz

„einen Sachverhalt auf angemessene Weise mathematisch beschreiben, eine zugehörige Problemstellung in dem gewählten mathematischen Modell lösen sowie die Ergebnisse auf die Ausgangssituation übertragen, interpretieren und ihre Gültigkeit prüfen“, die in den Standards der Kursstufe zu „inner- und außermathematische Sachverhalte […] auch in komplexen Zusammenhängen mathematisch modellieren.“ erweitert werden.

Modellieren: Herunterladen [pdf] [515 MB]