Stetige Zufallsvariable bzw. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsdichte

Diskrete Zufallsgrößen sind Zufallsgrößen, die nur endlich viele oder abzählbar-unendlich viele Werte annehmen können. Ihre Wahrscheinlichkeiten kann man in Tabellen oder anschaulich mit Histogrammen darstellen.

Eine stetige Zufallsgröße X ist dadurch gekennzeichnet, dass ihr Wertebereich ein Intervall I ⊆ ℝ ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wird mit Hilfe der zugehörigen Wahr scheinlichkeitsdichte berechnet.

Beispiel für eine stetige Zufallsgröße:
In einer Zentrifuge befindet sich ein kleines Holzkügelchen, das durch mehrere Öffnungen die Zentrifuge verlassen kann. Die Winkelgeschwindigkeit der Zentrifuge wird innerhalb von 2 Minuten auf einen maximalen Wert hochgefahren. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis das Kügelchen innerhalb dieser 2 Minuten die Zentrifuge verlassen hat (wobei die Kugel auf jeden Fall innerhalb von 2 Min die Zentrifuge verlässt.)

Es gibt also unendlich viele Werte für die Zufallsgröße im Intervall (0:2],
alle Zahlen x mit 0<x 2 sind möglich. Die Zufallsgröße ist stetig.

Eine Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integrieren erhält, nennt man Wahrscheinlichkeitsdichte.

Anmerkungen:

1. Durch (1) ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeiten von Teilintervallen nicht negativ sind.
2. Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Intervalls beträgt 1=100%
3. Man nennt f auch Dichtefunktion.
4. Eine Zufallsgröße X mit reellen Werten im Intervall I heißt stetig verteilt , wenn gilt:

5. Die Funktionswerte f(x) sind keine Wahrscheinlichkeiten.
Denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße genau den Wert k annimmt, berechnet sich durch

D.h. die Einzelwahrscheinlichkeiten sind exakt null.

Der Link führt Sie zu den Fortbildungsmaterialien zum neuen Bildungsplan 2016 in das Kapitel Normalverteilung.