Faktor- und Summenregel
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Diese Seite ist Teil einer Materialiensammlung zum Bildungsplan 2004: Grundlagen der Kompetenzorientierung. Bitte beachten Sie, dass der Bildungsplan fortgeschrieben wurde.
Hier geht es zum ersten Mal nicht um die Ableitung einer Grundfunktion, sondern um die Ableitung von zusammengesetzten Funktionen. Diesen roten Faden sollte der Lehrer erläutern und offenlegen (offen gelegte Strukturierung!), etwa so:
Da es viel zu aufwendig ist, bei der Ermittlung der Ableitung einer Funktion jedes Mal die Definition zu verwenden, geht man anders vor. Man kann sich die unendlich große Zahl der Funktionen aus Grundfunktionen durch wenige Zusammensetzungen aufgebaut denken. Es gibt also
Grundfunktionen
und
zusammengesetzte Funktionen
. Der rote Faden zu den Ableitungsregeln ist nun: Wenn man die Ableitungen der Grundfunktionen kennt und weiß, wie sich die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion aus den Ableitungen der Grundfunktionen ergibt, kann man die Ableitung jeder Funktion erhalten. Zu einem solchen Vorgehen benötigt man also die
Ableitungen aller Grundfunktionen
und
Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen
.
Der Schüler muss also z.B. bei f(x) = x·e 2x fragen:
Handelt es sich um eine Zusammensetzung (welche?) oder um eine Grundfunktion?
Es handelt sich um eine Zusammensetzung – und zwar ein Produkt. Also ist hier die Produktregel zuständig. Eine der Teilfunktionen g(x) = x ist eine Grundfunktion, deren Ableitung ich kenne. Die andere Teilfunktion h(x) = e
2x
ist keine Grundfunktion, sondern eine Verkettung usw.
Bei der
Faktorregel
und der
Summenregel
ist das
spezifische Problem
, dass die Schüler die
Beweisbedürftigkeit
überhaupt nicht erkennen. Sie können sich eine andere Ableitungsregel zu Summen nicht vorstellen. Es gehört schon ein gehobenes mathematisches Verständnis dazu, angesichts der Summenregel nicht zu sagen „das ist doch klar, was soll denn sonst gelten“.
Zur Durchführung des Beweises benötigt man als
Vorwissen
vor allem die Begriffsbildung der „zusammengesetzten Funktion“, wie der
Summe von Funktionen
. Dies wird auf den Arbeitsblättern geklärt.
Die
zentrale Idee
des Beweises ist zum ersten Mal die Zurückführung auf andere Differenzenquotienten, also eine gezielte Termumformung eines Differenzenquotienten zurück auf andere Differenzenquotienten.
Arbeitsblatt
8
Faktorregel; Aufgabe 1 (für alle Schüler) Aufgabe 2 (für gute Schüler)
Arbeitsblatt
9
Summenregel; Aufgabe 1 (für alle Schüler) Aufgabe 2 (für gute Schüler)