Ket­ten- und Pro­dukt­re­gel

Von der Sach­lo­gik her sind ver­schie­de­ne Rei­hen­fol­gen Pro­dukt­re­gel – Ket­ten­re­gel be­zie­hungs­wei­se Ket­ten­re­gel – Pro­dukt­re­gel mög­lich.
Hier wird die Rei­hen­fol­ge Ket­ten­re­gel – Pro­dukt­re­gel vor­ge­zo­gen; wegen der Ab­hän­gig­keit von der Rei­hen­fol­ge ist damit im Schü­ler­ma­te­ri­al zu be­ach­ten, dass das Ar­beits­blatt zur Pro­dukt­re­gel die Kennt­nis der Ket­ten­re­gel vor­aus­setzt.

Bei der Ket­ten­re­gel und der Pro­dukt­re­ge l sind die Haupt­pro­ble­me:

1. Wie kommt man über­haupt auf die Regel?
2. Die Be­wei­se sind sehr for­mal, haben einen hohen al­ge­brai­schen An­spruch und be­nö­ti­gen die Ver­traut­heit mit der De­fi­ni­ti­on der Ab­lei­tung, die schon ein Jahr zu­rück­liegt.
3. Ein for­ma­ler Be­weis, ohne dass vor­her die Aus­sa­ge der Regel ein­sich­tig ge­macht wurde, kann nur frus­trie­rend sein.

Bei bei­den Re­geln wird der Schwer­punkt auf die Tech­nik der Heu­ris­tik ge­legt. Wie kommt man auf eine Ver­mu­tung ?  Wie wird die zu be­wei­sen­de Aus­sa­ge ein­sich­tig?
Man weiß ja zu­nächst gar nicht, was man be­wei­sen soll. Das ist ein Punkt, auf den noch zu wenig ge­ach­tet wurde. Diese Pro­ble­ma­tik ist jetzt im Zu­sam­men­hang der Ab­lei­tungs­re­geln ganz neu und eine Ge­le­gen­heit, mit heu­ris­ti­schen Me­tho­den (Bil­dungs­plan: über­fach­li­che Kom­pe­tenz­be­rei­che) zu ar­bei­ten.
( Heu­ris­tik ( altgr. Heurísko; ich finde; heu­ris­kein ; (auf-)fin­den, ent­de­cken) be­zeich­net die Kunst, mit be­grenz­tem Wis­sen und wenig Zeit zu guten Lö­sun­gen zu kom­men.)

Na­tür­lich ist es auch mög­lich die ent­spre­chen­den Ver­mu­tun­gen zur Regel aus einer an­wen­dungs­be­zo­ge­nen Si­tua­ti­on her­zu­lei­ten. An die­ser Stel­le wird aber inn­er­ma­the­ma­tisch ge­ar­bei­tet, um eine mög­lichst ei­gen­stän­di­ge Schü­ler­tä­tig­keit mit dem Fokus auf das Auf­stel­len der Ver­mu­tung zu rich­ten.

Zur Pro­dukt­re­ge l noch ge­naue­re Aus­füh­run­gen und eine Dis­kus­si­on von Al­ter­na­ti­ven:
Der Schü­ler denkt: Ist doch klar, dass (f·g)´= f´·g´ gilt. Das muss im Un­tericht zu­erst the­ma­ti­siert wer­den; hier han­delt es sich auch um eine wich­ti­ge Denk­tech­nik. Dazu braucht man zwei Funk­tio­nen, die man ein­zeln und als Pro­dukt ab­lei­ten kann (z.B. x ² und x ³ ; oder man nimmt den GTR).

Heu­ris­ti­schen Me­tho­den sind unter an­de­rem:

1. ge­eig­ne­te Bei­spie­le
2. Ver­an­schau­li­chung
3. ge­ziel­te Suche: Gab es schon mal ähn­li­ches?

Diese heu­ris­ti­schen Zu­gän­ge zur Pro­dukt­re­gel sol­len nun ver­glei­chen wer­den.

1. ge­eig­ne­te Bei­spie­le.

Man füllt eine Ta­bel­le der Art aus.

Vor­tei­le: Falls die Schü­ler dar­auf kom­men, haben Sie ein gutes Ge­fühl (Pro­blem ge­löst). Man kann daran er­läu­tern, was ziel­ge­rich­te­te Bei­spie­le sind (mache von den zwei Grö­ßen eine ein­fach, va­ri­ie­re zu­nächst nur eine Größe).

Nach­tei­le: Nicht alle Schü­ler kom­men auf Ideen, ins­be­son­de­re ist nicht von allen Sch zu er­war­ten, dass so­wohl Funk­tio­nen als auch deren Ab­lei­tun­gen in sym­me­tri­scher An­ord­nung in der Regel wie­der­zu­fin­den sind/sein müs­sen. Es ist auch mög­lich die­ses Phä­no­men im Nach­gang zu be­leuch­ten.

Ist die rich­ti­ge Ver­mu­tung ge­fun­den, so steht er­neut die Frage im Raum wel­chen Sinn ein Be­weis noch haben kann, wenn die Regel ge­fun­den of­fen­sicht­lich ge­fun­den ist? Fer­ner sieht man nicht, warum sich ge­ra­de diese Regel er­gibt. Ein ge­eig­ne­ter Un­ter­richts­gang (Auf­stel­len der Ver­mu­tung, Ein­sich­tig­ma­chen eines Be­wei­ses) kann ver­su­chen ver­meint­li­che Nach­tei­le ins Ge­gen­teil zu keh­ren.

2. Ver­an­schau­li­chung.

In vie­len Bü­chern wird mit einem Recht­eck als Ver­an­schau­li­chung ge­ar­bei­tet.

Will man die Ab­lei­tung eines Pro­dukts f = u · v zwei­er Funk­tio­nen u und v be­stim­men, deren Ab­lei­tung man kennt, so muss man den Dif­fe­ren­zen­quo­ti­en­ten von f auf die Dif­fe­ren­zen­quo­ti­en­ten von u und v zu­rück­füh­ren. Es ist

Deu­tet man die bei­den Pro­duk­te im Zäh­ler   u(x ⁰ +h) · v(x ⁰ +h) und u(x ⁰ ) · v(x ⁰ )) als Flä­chen­in­hal­te von Recht­ecken mit den Sei­ten­län­gen u(x ⁰ +h) usw., so er­hält man eine Idee für eine mög­li­che Um­for­mung der Dif­fe­renz u(x ⁰ +h) · v(x ⁰ +h)  -  u(x ⁰ ) · v(x ⁰ ).

Sub­trak­ti­on der bei­den Recht­eck­flä­chen lie­fert:

Diese Um­for­mung ist nicht nur an­schau­lich, son­dern auch rech­ne­risch rich­tig, da le­dig­lich das Pro­dukt  u(x ⁰ +h) · v(x ⁰ ) ad­diert und an­schlie­ßend wie­der
sub­tra­hiert wird.
Für den Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent (*) gilt damit:

Vor­tei­le: Die zen­tra­le Idee „Zu­rück­füh­rung auf die zwei an­de­ren Dif­fe­ren­zen­quo­ti­en­ten“ kommt gut her­aus; der Be­weis wird gleich mit­ge­lie­fert. Man kann die Um­for­mun­gen an­schau­lich be­glei­ten.
Nach­tei­le: Die Zu­rück­füh­rung auf die De­fi­ni­ti­on ist re­chen­auf­wän­dig, viele Va­ria­blen.
Es wird eine Ver­an­schau­li­chung „Recht­eck“ ge­bracht, die noch nie da war; auch dazu kann es Schü­ler­fra­gen geben.

3. Ge­ziel­te Suche: Gab es schon mal so etwas?

Ge­sucht: (fg)´, also die Ab­lei­tung eines Pro­duk­tes von Funk­tio­nen.
Frage: Kommt ein sol­ches Pro­dukt in einem an­de­ren Zu­sam­men­hang vor, den wir nüt­zen kön­nen?  (Die Idee mit der bi­no­mi­schen For­mel muss man na­tür­lich vor­ge­ben.)

Vor­tei­le: Kein Vor­wis­sen zur De­fi­ni­ti­on der Ab­lei­tung not­wen­dig; Ver­mu­tung und Be­weis in einem Gang.
Nach­tei­le: Hoher abs­trak­ter An­spruch;  even­tu­ell geht es zu schnell, zu wenig Zeit zum Ver­traut-Wer­den mit der Pro­ble­ma­tik. Sieht ein wenig wie ein Trick aus. Auf dem Ar­beits­blatt 14 ist die ge­ziel­te Suche da­hin­ge­hend um­ge­setzt, dass par­al­lel zu den ein­zel­nen Be­weis­schrit­ten ziel­füh­ren­de Ver­ständ­nis­fra­gen den Be­weis be­glei­ten.

Ar­beits­blatt 12  Ein­füh­rung der Ver­ket­tung von Funk­tio­nen (für alle Schü­ler)
Ar­beits­blatt 13   Ab­lei­tung einer Ver­ket­tung (für alle Schü­ler)
Ar­beits­blatt 14   Ab­lei­tung eines Pro­duk­tes (für alle Schü­ler; Aufg.3 an­spruchs­voll)