Po­tenz­re­gel

For­ma­ler Be­weis der Po­tenz­re­gel (nicht für den Un­ter­richt)

Be­weis: (Ver­wen­de­te Hilfs­sät­ze: Bi­no­mi­scher Lehr­satz; Grenz­wert­sät­ze)

Di­dak­ti­sche Be­mer­kun­gen
Die Aus­sa­ge des Sat­zes, die Her­lei­tung und der Be­weis müs­sen zu­erst an den kon­kre­ten Bei­spie­len f(x) = x ² ,  f(x) = x ³ ,  f(x) = x ⁴ be­ar­bei­tet wer­den. Das ist für alle Schü­ler mög­lich.

An Vor­wis­sen wird be­nö­tigt:
a) Die De­fi­ni­ti­on der Ab­lei­tung mit der h-Me­tho­de. Das soll­te noch prä­sent sein.   
b) Die Bi­no­me (x+h) ² , (x+h) ³ , usw. müs­sen be­rech­net wer­den kön­nen. Das ist nicht da und muss be­reit­ge­stellt wer­den (For­mel­samm­lung oder Pas­cal‘sches Drei­eck)
Die zen­tra­le Idee ist: Der Dif­fe­ren­zen­quo­ti­ent er­gibt beim Ver­ein­fa­chen immer eine Summe mit einem Sum­man­den ohne h, alle an­de­ren Sum­man­den haben h als Fak­tor. Also ist eine ein­fa­che Grenz­wert­bil­dung mög­lich.
Zur Be­weis­be­dürf­tig­kei t muss der Leh­rer Stel­lung neh­men, zum Bei­spiel haben drei kon­kre­te Bei­spie­le kei­ner­lei all­ge­mei­ne Aus­sa­ge­kraft. Erst wenn wir davon ma­the­ma­tisch über­zeugt sind, dass die zen­tra­le Idee immer funk­tio­nie­ren muss, kann die Sache als be­wie­sen gel­ten.

Fach­li­che Re­du­zie­run­gen sind:
a) Die Grenz­wert­sät­ze wer­den „naiv“ ver­wen­det. Es wird z.B. nicht the­ma­ti­siert, dass der Grenz­wert der Summe 2x + h die Summe der Grenz­wer­te der Sum­man­den ist (für h→0).
(siehe Le­se­hil­fen zum Bil­dungs­plan 2004: Bei der Be­hand­lung von Grenz­wert­sät­zen ge­nü­gen Plau­si­bi­li­täts­be­trach­tun­gen. )
b) Die Ent­wick­lung von Bi­no­men in Sum­men wird nicht her­ge­lei­tet. Es wird die For­mel­samm­lung be­nützt oder das Pas­cal´sche Drei­eck an­ge­wen­det.
(siehe zum Bei­spiel auch Bil­dungs­plan 2004, Klas­se 10, Leit­idee Ver­net­zung).

Wei­te­re spe­zi­fi­sche Schwie­rig­kei­ten sind
a) Wie wer­den die „ein­fa­chen“ Fälle f(x) = x ⁰ und f(x) = x ¹ er­läu­tert?
b) Beim all­ge­mei­nen Be­weis gibt es einen neuen Pa­ra­me­ter n, das wird un­über­sicht­lich.
c) Die Ko­ef­fi­zi­en­ten der Sum­man­den sind keine kon­kre­ten  Zah­len, son­dern schreib­tech­nisch schwie­ri­ge Terme (Bi­no­mi­al­ko­ef­fi­zi­en­ten), die der Schü­ler even­tu­ell schon in einem ganz an­de­ren Zu­sam­men­hang ken­nen­ge­lernt hat (Ber­noul­li-For­mel).

Eine ver­tret­ba­re di­dak­ti­sche Pla­nung wäre zum Bei­spiel:
- Es wer­den die kon­kre­ten Bei­spie­le f(x) = x ² ,  f(x) = x ³ ,  f(x) = x ⁴ be­ar­bei­tet.
- Aus die­sen kon­kre­ten Bei­spie­len wird eine Ver­mu­tung for­mu­liert, in Wor­ten und for­mal.

Diese zwei Schrit­te kann jeder Schü­ler er­rei­chen

- Die Schü­ler er­ken­nen, dass der Be­weis für jede na­tür­li­che Hoch­zahl funk­tio­nie­ren muss
- Die Schü­ler sind in der Lage, mit einer for­ma­len Dar­stel­lung zu ar­bei­ten.

Zu den Ar­beits­blät­tern:

Ar­beits­blatt 1 Her­lei­tung und For­mu­lie­rung der Po­tenz­re­gel ohne Be­weis (für alle Schü­ler)
Ar­beits­blatt 2 Be­weis der Po­tenz­re­gel (Zu­satz zu AB 1; für gute Schü­ler)
Ar­beits­blatt 3 wid­met sich nur der Ent­wick­lung von Bi­no­men mit Hilfe des Pas­cal´schen Drei­ecks. Kann in einer Un­ter­richts­stun­de vor der Po­tenz­re­gel zur Be­reit­stel­lung der bi­no­mi­schen For­meln be­ar­bei­tet wer­den (für alle Schü­ler).

Be­mer­kung: Das Pas­cal´sche Drei­eck kann sich auch in an­de­ren Un­ter­richts­si­tua­tio­nen als er­gie­big er­wei­sen (For­mel von Ber­noul­li).