Ex­trem- und Wen­de­stel­len

Hier sind ohne un­ter­richt­li­che Re­duk­ti­on die fach­li­chen Grund­la­gen für die Kri­te­ri­en zur Ex­trem­be­stim­mung  dar­ge­stellt. Diese Dar­stel­lung soll sicht­bar ma­chen, dass man im Un­ter­richt die An­sprü­che an die fach­li­che Ex­akt­heit und Voll­stän­dig­keit deut­lich re­du­zie­ren muss.

Grund­sätz­lich wird vor­aus­ge­setzt, dass alle be­trach­te­ten Funk­tio­nen auf dem De­fi­ni­ti­ons­be­reich be­lie­big oft dif­fe­ren­zier­bar sind.

Fol­gen­de drei De­fi­ni­tio­nen sind die Grund­la­ge:

Als Be­weis­mit­tel be­nö­tigt man Hilfs­sät­ze. Für das erste Kri­te­ri­um wird be­nö­tigt:

Be­ach­te den Schluss vom of­fe­nen auf das ge­schlos­se­ne In­ter­vall. Das wird für den for­ma­len Be­weis be­nö­tigt.
Be­weis von Hilfs­satz A:   Be­weis­mit­tel: Mit­tel­wert­satz (und damit Ste­tig­keit)

Also gilt wegen v-u > 0 auch f(v) –f(u) > 0 und damit f(v) > f(u).
(Ge­naue Vor­aus­set­zun­gen des Mit­tel­wert­sat­zes: f ist auf [a;b] de­fi­niert und ste­tig und auf (a;b) dif­fe­ren­zier­bar)

Für das zwei­te Kri­te­ri­um wird be­nö­tigt:

Die­ser Hilfs­satz ist ein Kri­te­ri­um für einen VZW. Wird des­halb im Un­ter­richt „Kri­te­ri­um für VZW“  ge­nannt.
Be­weis von Hilfs­satz B; Be­weis­mit­tel: De­fi­ni­ti­on Grenz­wert einer Folge sowie der Ab­lei­tung.

Ne­ben­be­mer­kung:
Der Hilfs­satz B sagt nicht :
Wenn f(z) = 0 und f´(z) > 0, dann ist f in einer Um­ge­bung von z streng mo­no­ton wach­send.
Ge­gen­bei­spiel:

In der Figur sind dazu die Ein­hül­len­den y = x + 2x ² und  y = x - 2x ²  dar­ge­stellt. 

Die­ses Bei­spiel und an­de­re sind aus:
Danck­werts/Vogel: Ana­ly­sis ver­ständ­lich un­ter­rich­ten, 1. Auf­la­ge. Ber­lin, Hei­del­berg Spek­trum Aka­de­mi­scher Ver­lag, 2006, (u.a.) Seite 137.

Be­weis von Satz 1: Be­weis­mit­tel: Mo­no­to­nie­satz
Zu zei­gen: Es gibt eine Um­ge­bung (z-h; z+h) von z mit f(x) > f(z) für alle x ∈(z-h;z+h).
Nach De­fi­ni­ti­on 3 gilt: Es gibt eine Um­ge­bung (z-h;z+h) mit h > 0 von z mit f ´(x) < 0 für alle x ∈(z-h;z) und f ´(x) > 0 und für alle x∈(z;z+h).
Nach dem Mo­no­to­nie­satz ist f in [z-h;z] s.m.a. , also ist f(x) > f(z) = 0 für alle x ∈[z-h;z];
ent­spre­chend ist f in [z;z+h] s.m.z. , also ist f(x) > f(z) = 0 für alle x ∈[z;z+h].
Be­ach­te:  Der Be­weis lie­fert eine Ex­trem­stel­le im stren­gen Sinn.

Be­weis von Satz 2: Be­weis­mit­tel: Lo­ka­le Tren­nungs­ei­gen­schaft
Nach Hilfs­satz B hat f´ bei z einen Vor­zei­chen­wech­sel von – nach +.
Nach De­fi­ni­ti­on 3 gibt es eine Um­ge­bung von z mit f´(x) < 0 für alle x ∈(z-h;z) und
f´(x) > 0 für alle x∈(z;a+h). Mit Satz 1 folgt die Be­haup­tung.

Für das The­men­ge­biet Wen­de­stel­len geht es ohne aus­führ­li­che Be­wei­se wei­ter.

Be­mer­kung:
Es gilt: Hat f an der Stel­le z eine Wen­de­stel­le, dann hat f´ an der Stel­le z eine Ex­trem­stel­le.
Es gilt nicht : hat f´ an der Stel­le z eine Ex­trem­stel­le, dann hat f  an der Stel­le z eine Wen­de­stel­le.
Ge­gen­bei­spiel (da gibt es nur ein „pa­tho­lo­gi­sches“): Eine Funk­ti­on f, deren Ab­lei­tung das Ge­gen­bei­spiel 2 zu Satz 1 ist.
f´hat an der Stel­le z = 0 eine Ex­trem­stel­le. Die Funk­ti­on f kann bei z = 0 aber keine Wen­de­stel­le haben, da links und rechts z =0 kein ein­heit­li­ches Mo­no­to­nie­ver­hal­ten von f´ vor­liegt.

Be­weis: Da f´´ an der Stel­le z einen VZW hat, gilt o.B.d.A. : f´´(z) = 0 und f´´(x) < 0 für x < z ; f´´(x) > 0 für x > z. Nach dem Mo­no­to­nie­satz folgt: f´ ist smf für x < z und sms für x > z. Damit hat f an der Stel­le z eine Wen­de­stel­le.