Kriterien für Extrem- und Wendestellen
Infobox
Diese Seite ist Teil einer Materialiensammlung zum Bildungsplan 2004: Grundlagen der Kompetenzorientierung. Bitte beachten Sie, dass der Bildungsplan fortgeschrieben wurde.
1) Der Nachweis von Extremstellen geschieht nicht mittels der Definition, sondern mit Hilfe anderer Kriterien. Dadurch gerät der Inhalt der Definition aus dem Blick und der Schüler läuft Gefahr, eines der Kriterien mit der Definition gleichzusetzen.
(Bsp. Für f(x) = x
4
– 4x
3
+ 6x
2
- 4x gilt: f´(1) = 0 und f´´(1) = 0. Falsche Schülerfolgerung: f hat bei x = 1 keine Extremstelle.)
Dieses Beispiel kann auch so interpretiert werden, dass der Schüler nicht die logische Ordnung der Kriterien erkennt. Das heißt, wenn das zweite Kriterium nicht greift, könnte immer noch das erste Kriterium greifen.
2) Die Schüler haben zum Begriff „Minimum“ eine anschauliche Grundvorstellung, die dem obigen Beispiel A entspricht. Soll man diese Grundvorstellung erschüttern? Es kann nicht schaden bei der Definition darauf hinzuweisen und die Sache dann nicht weiter zu verfolgen, da diese Grundvorstellung für differenzierbare Funktionen im Großen und Ganzen richtig ist (Ausnahme wäre evtl. die oben angegebene oszillierende Funktion, aber diese würde einen Schüler im Allgemeinen eher verwirren)
3) Es würde wohl man mehr Klarheit schaffen, wenn man konsequent mit Aussagen in „wenn - dann“-Form und den typischen Gegenbeispielen arbeiten würde.
Oft werden (wohl aus historischen Gründen) die Begriffe notwendig und hinreichend verwendet. Diese Begriffe sind für Schüler schwer zu handhaben – nicht zuletzt deshalb, weil man für denselben Sachverhalt beide Ausdrücke verwenden kann.
Zum Beispiel sagen Schüler, auf die Aufforderung, den Satz
„Wenn x0 eine Extremstelle von f ist, dann gilt f´(x
0
) = 0„
mit den Begriffen notwendig und hinreichend zu formulieren:
„f´(x
0
) ist eine
notwendige
Bedingung für eine Extremstelle x
0
von f “,
aber auch
„Eine Extremstelle x
0
von f ist eine
hinreichende
Bedingung für f´(x
0
) = 0“.
Beide Formulierungen sind richtig!
4) Eine hohe Anforderung wäre, bei den (immer anschaulichen!) Herleitungen und Begründungen die Beweismittel mittels den Plakaten angeben zu lassen.
Das könnte zum Beispiel beim ersten Kriterium so aussehen: (
Beweismittel unterstrichen
)
VZW von f´ bei x
0
Definition von VZW
→ f(x)´ < 0 (f(x)´ > 0 ) in einem Intervall links (rechts) von x
0
Monotoniesatz
→ f links (rechts) von x
0
streng monoton fallend (steigend)
Def. der Monotonie
→ f(x
0
) < f(x) für x aus den Intervallen
Def. von Minimumstelle
→ x
0
ist Minimumstelle.
Zum Beispiel beim zweiten Kriterium:
f´(x
0
) = 0 und f´´(x
0
) > 0
→ VZW bei x
0
Satz: Kriterium VZW
→ (weiter wie oben) (anschaulich)
5) Bei den Kriterien zu Wendestellen wird wie oben schon begründet mit der Argumentation „Extremstellen von f´ entsprechen Wendestellen von f´´“ gearbeitet.