Monotonie
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Diese Seite ist Teil einer Materialiensammlung zum Bildungsplan 2004: Grundlagen der Kompetenzorientierung. Bitte beachten Sie, dass der Bildungsplan fortgeschrieben wurde.
Der Schüler kann unmittelbar und meist ohne Problem Monotonie
bei Graphen
benennen und unterscheiden. Die
spezifische Schwierigkeit
bei der Definition liegt darin, dieses graphische Phänomen abstrakt mit Variablen auszudrücken. Die Motivation und gleichzeitig
zentrale Idee
ist: Wie kann man ohne Graph nur anhand des Funktionsterms Monotonie herausfinden und nachweisen?
Eine weitere spezifische Schwierigkeit ist der Fall f(x) = x
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. Hier gerät der Schüler in einen kognitiven Konflikt, weil der Graph anschaulich nicht streng monoton aussieht.
Beim Nachweis mit Hilfe der Definition treten noch algebraische Schwierigkeiten dazu. Allerdings ist ein vertieftes Eingehen auf einen Nachweis der Monotonie mit Hilfe der Definition nicht mehr sinnvoll, da von vornherein der Anspruch auf differenzierbare Funktionen reduziert ist.
Der Monotoniesatz kann in der Schule nicht bewiesen werden, da der Mittelwertsatz benötigt wird. Somit kann dieser Satz im Unterricht lediglich anschaulich hergeleitet werden. Insofern kann an dieser Stelle kaum nach Leistungsfähigkeit differenziert werden. Insbesondere braucht beim Monotoniesatz zwischen offenen und geschlossenen Intervallen nicht unterschieden zu werden.
Der Lehrer sollte deutlich machen, dass die Definition für alle Funktionen anwendbar ist, der Monotoniesatz nur für differenzierbare Funktionen.
Weiter sollte deutlich gemacht werden, dass die Umkehrung nicht gilt.
Arbeitsblatt 15:
Definition der Monotonie und Monotoniesatz (alle Schüler)
Arbeitsblatt 16:
Der Monotoniesatz (alle Schüler)