Mo­no­to­nie

Der Schü­ler kann un­mit­tel­bar und meist ohne Pro­blem Mo­no­to­nie bei Gra­phen be­nen­nen und un­ter­schei­den. Die spe­zi­fi­sche Schwie­rig­keit bei der De­fi­ni­ti­on liegt darin, die­ses gra­phi­sche Phä­no­men abs­trakt mit Va­ria­blen aus­zu­drü­cken. Die Mo­ti­va­ti­on und gleich­zei­tig zen­tra­le Idee ist: Wie kann man ohne Graph nur an­hand des Funk­ti­ons­terms Mo­no­to­nie her­aus­fin­den und nach­wei­sen?
Eine wei­te­re spe­zi­fi­sche Schwie­rig­keit ist der Fall f(x) = x ³ . Hier gerät der Schü­ler in einen ko­gni­ti­ven Kon­flikt, weil der Graph an­schau­lich nicht streng mo­no­ton aus­sieht.

Beim Nach­weis mit Hilfe der De­fi­ni­ti­on tre­ten noch al­ge­brai­sche Schwie­rig­kei­ten dazu. Al­ler­dings ist ein ver­tief­tes Ein­ge­hen auf einen Nach­weis der Mo­no­to­nie mit Hilfe der De­fi­ni­ti­on nicht mehr sinn­voll, da von vorn­her­ein der An­spruch auf dif­fe­ren­zier­ba­re Funk­tio­nen re­du­ziert ist.

Der Mo­no­to­nie­satz kann in der Schu­le nicht be­wie­sen wer­den, da der Mit­tel­wert­satz be­nö­tigt wird. Somit kann die­ser Satz im Un­ter­richt le­dig­lich an­schau­lich her­ge­lei­tet wer­den. In­so­fern kann an die­ser Stel­le kaum nach Leis­tungs­fä­hig­keit dif­fe­ren­ziert wer­den. Ins­be­son­de­re braucht beim Mo­no­to­nie­satz zwi­schen of­fe­nen und ge­schlos­se­nen In­ter­val­len nicht un­ter­schie­den zu wer­den.

Der Leh­rer soll­te deut­lich ma­chen, dass die De­fi­ni­ti­on für alle Funk­tio­nen an­wend­bar ist, der Mo­no­to­nie­satz nur für dif­fe­ren­zier­ba­re Funk­tio­nen.
Wei­ter soll­te deut­lich ge­macht wer­den, dass die Um­keh­rung nicht gilt.

Ar­beits­blatt 15: De­fi­ni­ti­on der Mo­no­to­nie und Mo­no­to­nie­satz (alle Schü­ler)
Ar­beits­blatt 16: Der Mo­no­to­nie­satz (alle Schü­ler)