Eine reduzierte Begründungsbasis für den Unterricht

Grundsätzliche didaktische Reduzierungen:
1) Alle Funktionen sind auf dem Definitionsbereich beliebig oft differenzierbar.
2) Die Definitionen 1, 2 und 3 werden im Unterricht verwendet.
3) Die Hilfssätze A und B werden nicht exakt bewiesen, da die fachlichen Voraussetzungen nicht vorliegen. Im Unterricht braucht beim Hilfssatz A (Monotoniesatz) nicht zwischen offenen und geschlossenen Intervallen unterschieden zu werden (obwohl man bei einem fachlich exakten Nachweis dies tun müsste).
Der Hilfssatz B wird in der Fachliteratur mit „Lokale Trennungseigenschaft“ umschrieben. Für den Unterricht wird die Bezeichnung „Kriterium für einen  Vorzeichenwechsel“ vorgezogen. In den Materialien für den Unterricht ist dieser Hilfssatz so bezeichnet.   

4) Auf die angeführten pathologischen Gegenbeispiele wird im Unterricht nicht eingegangen.
Das hat die Konsequenz, dass im Unterricht „Extremstelle von f´ “ und „Wendestelle von f “ gleichbedeutend sind. Dies ist vertretbar, wenn wir dies nicht allgemein behaupten, sondern nur an konkreten in einer Aufgabe behandelten Funktionen verwenden. Eine Formulierung wie die folgende ist also zulässig: Da die gegebene Ableitung f´ an der Stelle z eine Extremstelle hat, muss f an der Stelle z eine Wendestelle haben. (Es wird davon ausgegangen, dass die gegebene Ableitung f´, zum Beispiel  als Graph gegeben, nicht zu den oszillierenden Funktionen gehört)

Man könnte auch die betrachteten Funktionen einschränken auf zum Beispiel „Funktionen mit endlich vielen Extremstellen“, womit die pathologischen Beispiele der oszillierenden Funktionen aus dem Spiel wären. Das würde aber in der Regel für die Schule zu weit führen. 5) Hier noch eine Begründungsbasis, wie sie im Unterricht in Form von Plakaten verwendet werden kann. (Für Monotonie und Extremstellen ist jeweils nur ein Beispiel angegeben).

Übersicht Extrem- und Wendstellen:  Sachlogische Struktur für den Unterricht