Begründen, argumentieren, widerlegen

1. Formulierung von Aufgaben

Geeignete Aufgaben findet man, wenn man z. B. Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen beschreiben und rechnerisch nachweisen lässt für spezielle Funktionen oder ganze Funktionsklassen. Dies lässt sich in die Geometrie übertragen, wenn z. B. Geradenscharen oder Ebenenscharen vorliegen.
Es gibt mehrere wichtige Vorstufen des Beweisens, die man gut in den laufenden Unterricht integrieren kann. Dies sind zum einen vorgegebene Aussagen, die an Beispielen verifiziert oder bewiesen werden sollen oder Aussagen, die man durch Gegenbeispiele widerlegen kann. Zum anderen sind es Aufgaben, in denen vorgegebene Lösungswege reflektiert und begründet werden sollen (vgl. 5.).
Erst wenn die genannten Aufgabentypen häufig gelöst werden, kann man zum abstrakten Beweisen von mathematischen Sätzen übergehen. Daher wird in diesem Beitrag nur auf solche Aufgabenstellungen eingegangen.

Das Begründen-Beweisen steht im engen Zusammenhang mit dem heuristischem Arbeiten und dem Problemlösen. 

Es erfordert anspruchsvolles logisches Denk- und Abstraktionsvermögen und ein Repertoire an Beweistechniken und –strategien.

2. Mögliche Aufgabenstellungen

• Behauptung in Worten oder graphisch vorgegeben : Formulieren Sie diese Behauptung algebraisch ( als Term, als Gleichung, ...) und beweisen Sie diese anschließend .
• Für welche xxx gilt xxx? Begründen Sie Ihre Antwort.
• Eigenschaft vorgegeben: Was lässt sich daraus schließen?
• Die Aussage ist falsch: Belegen Sie durch ein Gegenbeispiel.
• Entscheiden Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründen Sie durch ein Gegenbeispiel oder belegen Sie anhand eines geeigneten Beispiels.
• Behauptung formal vorgeben: Zeigen Sie, dass …

3. Beispiel

Analyse
Man muss den formalen Sachverhalt erfassen. Da es offen ist, wie die Lösung dargestellt werden soll, gibt es für die endgültige Begründung verschiedene Möglichkeiten. Entweder verfügt man über ein Repertoire an Graphen und deren Funktionsterme und widerlegt mithilfe geeigneter Terme. Oder man ist in der Lage, die Darstellungsform zu wechseln, geht von der formalen Beschreibung zur Grafik über und widerlegt mithilfe geeigneter Skizzen und zugehörigen Erläuterungen.

Die Aufgabe kann in dieser Form auch in der Klausur verwendet werden. Wenn man konkrete Funktionsterme als Lösung haben will, muss man die Formulierung abändern, z. B.: „Begründen Sie mithilfe geeigneter Gegenbeispiele. Geben Sie auch die zugehörigen Funktionsterme an.“