Ausgewählte Aufgaben aus 9/10

1. Kurze Auffrischung der Grundlagen

Ein Zufallsexperiment, das nur zwei Ergebnisse hat, nennt man ein Bernoulli-Experiment (Z.B. Werfen einer Münze W –Z  oder Treffer – kein Treffer ).

Wird ein Bernoulli-Experiment  n mal unabhängig wiederholt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

Ist bei einer Bernoullikette p die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, so ist die Wahrscheinlichkeit für genau k  Treffer bei n Wiederholungen des Bernoulli-Experiments:

Die Zufallsvariable X heißt dann binomialverteilt mit den Parametern n und p.

Ausgewählte Aufgaben zu 9/10

Aufgabe 1
In einem Gefäß U ₁ sind 10 blaue Kugeln und in einem weiteren Gefäß U ₂ sind 20 rote Kugeln. Gerlinde darf zunächst eines der beiden Gefäße wählen und daraus eine Kugel ziehen. Ist die Kugel rot, dann hat sie einen Preis gewonnen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie einen Preis gewinnt?

Gerlinde hat 50 weitere rote Kugeln. Sie darf bestimmen, wie viele davon zusätzlich in U ₁ gelegt werden. Allerdings werden dann genauso viele blaue Kugeln zusätzlich in U ₂ gelegt.

b) Gerlinde wählt 5 zusätzliche rote Kugeln. Hat sich dadurch ihre Gewinnwahrscheinlichkeit verbessert?

c) Wie viele zusätzliche rote Kugeln hätte Gerlinde wählen müssen, um ihre Gewinnchancen zu maximieren?

Lösung:

Aufgabe 2
Eine Klasse will für einen guten Zweck beim Schulfest ein Glücksrad betreiben. Dieses besteht aus drei Sektoren mit den folgenden Mittelpunktswinkeln:
rot: 180°, gelb: 90° und blau: 90°.
Bei einem Spiel dreht der Kunde das Glücksrad dreimal und bezahlt dafür einen Euro. Er erhält zwei Euro, wenn er dreimal dieselbe Farbe erreicht, er bekommt seinen Einsatz zurück, wenn genau zweimal dieselbe Farbe angezeigt wird, in allen anderen Fällen wird sein Einsatz einbehalten.

Welchen Gewinn erzielt die Klasse mit diesem Glücksrad pro Spiel durchschnittlich?

Die Klasse will im nächsten Jahr durch eine Veränderung der Sektorengrößen die Wahrscheinlichkeit der Fälle, in denen der Einsatz einbehalten wird, erhöhen. Dabei sollen die Spielregeln erhalten bleiben und der rote Sektor soll weiterhin doppelt so groß sein wie der gelbe.

Für welche Mittelpunktswinkel der drei Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit für den Einbehalt des Einsatzes am größten?

Lösung:

Aufgabe 3
Ein Basketballspieler hat bei Freiwürfen erfahrungsgemäß eine Trefferquote von 80%, d.h. er trifft durchschnittlich bei 80% seiner Würfe.

a) Er wirft 50mal. Die Zufallsvariable X zählt seine Treffer. Begründen Sie, dass man X durch eine Binomialverteilung modellieren kann. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für  35  X  45         

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft der Spieler bei drei Freiwürfen mindestens zweimal? Er möchte gern mit 95% Wahrscheinlichkeit bei drei Freiwürfen mindestens zweimal
treffen. Auf welchen Wert muss er dann seine Trefferquote verbessern?

Lösung:

Aufgabe 4
Ein Computerhersteller bezieht  von einem Lieferanten Speicherchips.
Erfahrungsgemäß sind 80 % der Chips einwandfrei.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips mehr als 20 einwandfrei? Die Chips werden in Viererpackungen geliefert. Ab welcher Anzahl  Viererpackungen muss mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Packung alle Chips defekt sind?

b) Wie groß dürfte die Defektwahrscheinlichkeit eines Chips höchstens sein, damit unter 10 Chips mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit alle einwandfrei sind?

Lösung:

Die maximale Defektwahrscheinlichkeit dürfte höchstens etwa 1 % betragen.