Stetige Zufallsvariable bzw. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsdichte
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Diese Seite ist Teil einer Materialiensammlung zum Bildungsplan 2004: Grundlagen der Kompetenzorientierung. Bitte beachten Sie, dass der Bildungsplan fortgeschrieben wurde.
Diskrete Zufallsgrößen sind Zufallsgrößen, die nur endlich viele oder abzählbar-unendlich viele Werte annehmen können. Ihre Wahrscheinlichkeiten kann man in Tabellen oder anschaulich mit Histogrammen darstellen.
Eine stetige Zufallsgröße X ist dadurch gekennzeichnet, dass ihr Wertebereich ein Intervall I ⊆ ℝ ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wird mit Hilfe der zugehörigen Wahr scheinlichkeitsdichte berechnet.
Beispiel für eine stetige Zufallsgröße:
In einer Zentrifuge befindet sich ein kleines Holzkügelchen, das durch mehrere Öffnungen die Zentrifuge verlassen kann. Die Winkelgeschwindigkeit der Zentrifuge wird innerhalb von 2 Minuten auf einen maximalen Wert hochgefahren. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viel Zeit vergeht, bis das Kügelchen innerhalb dieser 2 Minuten die Zentrifuge verlassen hat (wobei die Kugel auf jeden Fall innerhalb von 2 Min die Zentrifuge verlässt.)
Es gibt also unendlich viele Werte für die Zufallsgröße im Intervall (0:2],
alle Zahlen x mit 0<x
2 sind möglich. Die Zufallsgröße ist stetig.
Eine Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integrieren erhält, nennt man Wahrscheinlichkeitsdichte.
Anmerkungen:
1. Durch (1) ist gewährleistet, dass die Wahrscheinlichkeiten von Teilintervallen nicht negativ sind.
2. Die Wahrscheinlichkeit des gesamten Intervalls beträgt 1=100%
3. Man nennt f auch
Dichtefunktion.
4. Eine Zufallsgröße X mit reellen Werten im Intervall I heißt
stetig verteilt
, wenn gilt:
5. Die Funktionswerte f(x) sind keine Wahrscheinlichkeiten.
Denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße genau den Wert k annimmt, berechnet sich
durch
D.h. die Einzelwahrscheinlichkeiten sind exakt null.
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