Wahl Null­hy­po­the­se

Pro­blem: Wie wird die Null­hy­po­the­se ge­wählt?
Ein Bei­spiel aus der Me­di­zin
Ein phar­ma­zeu­ti­sches Un­ter­neh­men hat ein neues Me­di­ka­ment ent­wi­ckelt, das an­geb­lich in we­ni­ger als 10 % der An­wen­dun­gen schäd­li­che Ne­ben­wir­kun­gen zeigt. In einer Stich­pro­be wird das Me­di­ka­ment 150 Pa­ti­en­ten ver­ab­reicht, von denen 8 Ne­ben­wir­kun­gen zei­gen.

Kann man mit einer Irr­tums­wahr­schein­lich­keit von höchs­tens 5% an­neh­men, dass der An­teil der Ne­ben­wir­kun­gen unter 10% liegt?

A) Das Er­geb­nis der Stich­pro­be lie­fert einen Hin­weis auf die Al­ter­na­tiv­hy­po­the­se
Bei die­sem Bei­spiel liegt das Er­geb­nis der Stich­pro­be unter 10%,
man ver­mu­tet daher einen An­teil unter 10%.
Dar­aus er­gibt sich H1:p < 0.1 und damit H0: p ³ 0.1
Au­ßer­dem steckt die Al­ter­na­tiv­hy­po­the­se auch in der Fra­ge­stel­lung:
Kann man mit einer Irr­tums­wahr­schein­lich­keit von höchs­tens 5 % an­neh­men,
dass der An­teil der Ne­ben­wir­kun­gen unter 10% liegt?
Also: H0: p ³ 0.1 (schäd­li­ches Me­di­ka­ment) H1:p < 0.1

B) Kon­se­quen­zen aus dem Irr­tum
Bei einem sta­tis­ti­schen Test kann man die Irr­tums­wahr­schein­lich­keit vor­ge­ben; sie kann klein ge­wählt wer­den, um die Wahr­schein­lich­keit für einen mög­li­cher­wei­se fa­ta­len Irr­tum klein zu hal­ten.
Bei die­sem Bei­spiel zwei mög­li­che Feh­ler:
- ein schäd­li­ches Me­di­ka­ment (H0:p ³ 0.1) wird als harm­los ein­ge­stuft
- ein harm­lo­ses Me­di­ka­ment (H0:p £ 0.1) wird für ge­fähr­lich ge­hal­ten
Die Wahr­schein­lich­keit für den ers­ten Feh­ler muss klein ge­hal­ten wer­den.
Also : H0: p ³ 0.1 H1:p < 0.1

C) Was will man mit dem Test er­rei­chen?
Wenig Ne­ben­wir­kun­gen ist gut; das will man be­stä­ti­gen, also ist H1: p < 0.1 und damit H0: p ³ 0.1.

Ein wei­te­res Bei­spiel: Labor
Ein Labor ent­wi­ckelt einen neuen Impf­stoff und tes­tet ihn in einem Tier­ver­such mit 900 Mäu­sen.
Mit dem Impf­stoff dür­fen keine kli­ni­schen Stu­di­en an Men­schen durch­ge­führt wer­den, wenn sich im Tier­ver­such in min­des­tens 2% der Fälle un­er­wünsch­te Ne­ben­wir­kun­gen zei­gen.

Be­stim­men Sie für eine Irr­tums­wahr­schein­lich­keit von höchs­tens 1%  eine Ent­schei­dungs­re­gel für den Test.

Lö­sung:

Aus der Sicht des La­bors
Die Ent­wick­lung des Impf­stoffs war teuer, er soll daher ein­ge­setzt wer­den.
Das Labor will also, dass in der Stich­pro­be wenig Fälle mit un­er­wünsch­ten Ne­ben­wir­kun­gen sind: H1: p < 0.02
Damit liegt auch die Null­hy­po­the­se fest: H0: p ³ 0.02
Jetzt läuft der For­ma­lis­mus ab:
H0: p ³ 0.02       H1: p < 0.02
X: Anz. Der Mäuse mit Ne­ben­wir­kun­gen X ist im Ex­trem­fall B(900; 0.02)-ver­teilt
Ab­leh­nung von H0 bzw. Ent­schei­dung zu­guns­ten von H1 bei klei­nen Wer­ten von X.
D.h. suche k so, dass P(X £ k) £ 1%.
Wer­te­ta­bel­le des GTR lie­fert im Ex­trem­fall der Null­hy­po­the­se
den Ab­leh­nungs­be­reich = [0; 8], der auch für alle p ³ 0.02 gilt.
Das Labor wird emp­feh­len, den Impf­stoff ein­zu­set­zen, wenn in der Stich­pro­be höchs­tens 8 Mäuse mit Ne­ben­wir­kun­gen ge­fun­den wer­den.
Kon­se­quen­zen bei Irr­tum: Ein schlech­ter Impf­stoff wird ein­ge­setzt.

Aus der Sicht von je­man­dem, der den Impf­stoff nicht ein­ge­führt haben will
Er will also, dass bei einem Test zu viele Fälle mit un­er­wünsch­ten Ne­ben­wir­kun­gen die Ein­füh­rung des Impf­stoffs ver­hin­dern: H1: p > 0.02
Damit liegt auch die Null­hy­po­the­se fest: H0: p £ 0.02
Jetzt läuft der For­ma­lis­mus ab:
H0: p £ 0.02       H1: p > 0.02
X: Anz. Der Mäuse mit Ne­ben­wir­kun­gen X ist im Ex­trem­fall B(900; 0.02)-ver­teilt
Ab­leh­nung von H0 bzw. Ent­schei­dung zu­guns­ten von H1 bei gro­ßen Wer­ten von X.
D.h. suche k so, dass P(X ³ k) = 1 – P(X £ k-1) £ 1%.
Wer­te­ta­bel­le des GTR lie­fert im Ex­trem­fall der Null­hy­po­the­se
den Ab­leh­nungs­be­reich = [29; 900], der auch für alle p £ 0.02gilt.
Der Impf­stoff wird nicht ein­ge­setzt, wenn in der Stich­pro­be min­des­tens 29 Mäuse mit Ne­ben­wir­kun­gen ge­fun­den wer­den.
Kon­se­quen­zen bei Irr­tum: Ein guter Impf­stoff wird nicht ein­ge­setzt.

Wahl Null­hy­po­the­se: Her­un­ter­la­den [docx] [16 KB]

Wahl Null­hy­po­the­se: Her­un­ter­la­den [pdf] [79 KB]