Ein­füh­rung in das Ver­fah­ren

Zu­nächst wird die Be­haup­tung auf­ge­stellt, die Wahr­schein­lich­keit eine 6 zu wer­fen sei nicht . (Mög­li­che Ein­bin­dung in eine Ge­schich­te mit einem Kom­mis­sar in einem Ca­si­no…)
Es ste­hen zwei Al­ter­na­ti­ven  im Raum: Ent­we­der ist der Wür­fel ist ideal oder ge­zinkt.
Wel­che  der bei­den Mög­lich­kei­ten bie­tet sich als Ar­beit­hy­po­the­se an?

Ziel des sich an­schlie­ßen­den Un­ter­richts­ge­sprächs:
Da man die WS für eine 6 bei einem idea­len Wür­fel kennt, wäh­rend die WS bei einem ge­zink­ten Wür­fel un­be­kannt ist, wählt man als Ar­beits­hy­po­the­se die „Un­schulds­ver­mu­tung“ .

Das Ver­hal­ten des idea­len Wür­fels dient somit als Ver­gleichs- und Wer­te­maß­stab für die Be­ur­tei­lung der zu über­prü­fen­den Wür­fels.

Be­griffs­fest­le­gung:

Null­hy­po­the­se:

H ₀ :

Ge­gen­hy­po­the­se : 

H ₁ :
                                                           H ₁ ist eine zu­sam­men­ge­setz­te Hy­po­the­se, es liegt ein zwei­sei­ti­ger Test vor .

Prüf­va­ria­ble X:      

Zur Über­prü­fung wird der Wür­fel 50mal ge­wor­fen. Die Zu­falls­va­ria­ble X ,auch  Prüf­va­ria­ble ge­nannt, gibt die An­zahl der 6en an. Sie ist bi­no­mi­al­ver­teilt mit n=100 und bei wah­rer Null­hy­po­the­se . Sie ist   und hat den Er­war­tungs­wert , der eine Ver­gleichs­grö­ße dar­stellt.

Durch­füh­rung des Ex­pe­ri­ments / Si­gni­fi­k­anz­test: 

In meh­re­ren Grup­pen, mög­lichst mit idea­len und ge­zink­ten Wür­feln.
Das Er­geb­nis wird mit dem Er­war­tungs­wert ver­gli­chen und be­wer­tet: Der Wür­fel ist (k)ein idea­ler Wür­fel.

Die Ent­schei­dungs­re­gel: 

Die Null­hy­po­the­se wird ab­ge­lehnt, wenn der Stich­pro­ben­wert in einem ge­wis­sen Maß (um min­des­tens eine Zahl c rechts oder links)  vom Er­war­tungs­wert ab­weicht. Diese Zahl wird fest­ge­legt  (Schü­ler pro­bie­ren las­sen: c=10,…) und er­gibt eine linke und eine rech­te Gren­ze des Ab­leh­nungs­be­reichs:    
An die­ser Stel­le soll­te noch­mals auf den Be­griff des zwei­sei­ti­gen Tests ein­ge­gan­gen wer­den.

Gra­phi­sche Dar­stel­lung des Ab­leh­nungs­be­reichs:

Dis­kus­si­on über das His­to­gramm (bzw. meh­re­re His­to­gram­me zu ver­schie­de­nen Ab­leh­nungs­be­rei­chen) mit dem mög­li­chen Fazit:
Die Wahr­schein­lich­keit, dass die An­zahl der 6en beim 100­ma­li­gen Wür­feln eine idea­len Wür­fels in dem fest­ge­leg­ten Ab­leh­nungs­be­reich liegt, ist klein, also wird der Würfe als idea­ler Wür­fel ab­ge­lehnt.
An die­ser Stel­le kann der Be­griff  Si­gni­fi­k­anz­test (si­gni­fi­kan­te Ab­wei­chung) er­läu­tert wer­den.

Wahr­schein­lich­keit  für den Ab­leh­nungs­be­reich:

           
                    
Ist die WS klein, dass ein idea­ler Wür­fel den fest­ge­leg­ten Grad der Ab­wei­chung zeigt, dass die Prüf­va­ria­ble Werte an­nimmt, die im Ab­leh­nungs­be­reich lie­gen, wird man die Null­hy­po­the­se ab­leh­nen.
Doch „mit wel­cher Si­cher­heit“ kann man in die­sem Fall die Null­hy­po­the­se ab­leh­nen?

Irr­tums­wahr­schein­lich­keit  bzw. Ri­si­ko 1. Art (Feh­ler 1.​Art)

Die  WS , mit der die Werte der Zu­falls­va­ria­blen im Ab­leh­nungs­be­reich lie­gen, ist grö­ßer als Null!! Die fest­ge­leg­te Ab­wei­chung vom Er­war­tungs­wert ist also nicht un­wahr­schein­lich.
Man lehnt also die Null­hy­po­the­se mit der WS  fälsch­li­cher­wei­se ab (Feh­ler 1. Art) , da auch bei wah­rer Null­hy­po­the­se Werte der Prüf­va­ria­blen mit der WS  im Ab­leh­nungs­be­reich lie­gen.
Die WS, einen Feh­ler 1. Art zu be­ge­hen ist die Irr­tums-WS  bzw. das Ri­si­ko 1. Art.

An die­ser Stel­le muss nun durch Übung das Test­ver­fah­ren des zwei­sei­ti­gen Si­gni­fi­k­anz­tests ge­fes­tigt wer­den (mit ent­spre­chen­den viel­fäl­ti­gen und in­ter­es­san­ten Auf­ga­ben mit un­ter­schied­li­chen Fra­ge­stel­lun­gen): Fest­le­gung der Null­hy­po­the­se, die zu­grun­de lie­gen­de  Bi­no­mi­al­ver­tei­lung B _n;p , die Fest­le­gung des Ab­leh­nungs­be­reichs und die Be­stim­mung der Irr­tums-WS.

Ein mög­li­cher Un­ter­richts­gang: Her­un­ter­la­den [docx] [64 KB]

Ein mög­li­cher Un­ter­richts­gang: Her­un­ter­la­den [pdf] [150 KB]