Stoff­ver­tei­lungs­plan

1.– 3. Stun­de

Pro­jekt: Cola-Ge­schmacks­test

Werk­zeug

GTR, Si­mu­la­ti­on

Ab­sicht/LZ

Ein Ex­pe­ri­ment (Cola-Ge­schmacks­test) führt zu einer ma­the­ma­ti­schen Mo­del­lie­rung, bei der eine Ber­noul­li-Kette auf­tritt.

In­halt/
Pro­zess

Mit einem Ex­pe­ri­ment soll fest­ge­stellt wer­den, ob die Klas­se (als Ge­samt­heit) eine Cola-Schme­cker-Klas­se ist oder nicht. Der Test wird durch­ge­führt und es wer­den Fra­ge­stel­lun­gen für eine Aus­wer­tung des Tests ent­wi­ckelt.

Er­geb­nis

Die Über­le­gun­gen füh­ren zu einer ma­the­ma­ti­schen Mo­del­lie­rung, bei der Ber­noul­li­ket­ten, bi­no­mi­al­ver­teil­te Zu­falls­va­ria­ble und Grund­fra­gen von Hy­po­the­sen­tests an­ge­spro­chen wer­den. Die Dis­kus­si­on mög­li­cher Feh­ler bei einer Ent­schei­dung er­for­dert die Ent­wick­lung einer „Ver­gleichs­ver­tei­lung", die eine „Nix-Schme­cker-Klas­se“ ( „Rater", „Un­kun­di­ge", ...) cha­rak­te­ri­siert.

Ma­te­ria­li­en

Pro­jekt: Cola-Ge­schmacks­test

UF / M / SA

Ex­pe­ri­ment / GA / Prä­sen­ta­ti­on / Un­ter­richts­ge­spräch

Hin­weis

Zen­tra­ler Ge­dan­ke ist, in einem Ein­stiegs­bei­spiel Ber­noul­li­ket­ten, die Bi­no­mi­al­ver­tei­lung und die Fra­ge­stel­lun­gen der Hy­po­the­sen­tests ge­mein­sam an­zu­spre­chen. Dabei kön­nen Kennt­nis­se aus vor­her­ge­hen­den Un­ter­richts­ein­hei­ten der Sto­chas­tik wie­der auf­ge­grif­fen wer­den. Wäh­rend des Un­ter­richts­gangs er­weist sich die Bi­no­mi­al­ver­tei­lung als not­wen­di­ges Werk­zeug zur Be­ant­wor­tung ent­ste­hen­der Fra­gen. Eine ge­trenn­te, auf­ein­an­der­fol­gen­de Be­hand­lung von Ber­noul­li­ket­ten und Hy­po­the­sen­tests ist selbst­ver­ständ­lich auch mög­lich. Das ganz­heit­li­che Vor­ge­hen ver­mei­det ein Ler­nen auf Vor­rat; das Mo­del­lie­ren als ma­the­ma­ti­sches Ver­fah­ren steht im Vor­der­grund.

ÜB/HA

Si­mu­la­ti­on einer Klas­se mit „Nix-Schme­ckern“

4. Stun­de

Un­ter­su­chung einer „Nix-Schme­cker-Klas­se“

Werk­zeug

Baum­dia­gramm, Ta­bel­le, Schau­bild      (GTR)

Ab­sicht/LZ

Er­ar­bei­tung der For­mel von Ber­noul­li 

In­halt/
Pro­zess

Jeder Schü­ler er­mit­telt (unter ver­schie­de­nen Vor­aus­set­zun­gen) für „sei­nen“ Test (4 Ver­su­che) die Ein­zel­wahr­schein­lich­kei­ten, 0, 1, 2, 3, 4 Tref­fer zu er­zie­len („Nix-Schme­cker“: p = ; Schme­cker p = ?; ...) 

• Wie kann man Ver­tei­lun­gen bei grö­ße­ren Ver­suchs­an­zah­len be­schrei­ben?

Er­geb­nis/
Pro­dukt

Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lun­gen:

• Sys­te­ma­ti­sches Ab­zäh­len
• Er­ken­nen von Sym­me­tri­en
• Baum­dia­gramm, Pfad­re­geln
• Über­prü­fen der Er­geb­nis­se (z.B. Sum­men­bil­dung)

Ma­te­ria­li­en

Stun­den­ent­wurf

UF / M / SA

Ein­zel­ar­beit / Prä­sen­ta­ti­on / Un­ter­richts­ge­spräch

Hin­weis

Es ist not­wen­dig, die An­zahl der Ein­zel­tests zu­nächst auf 4 zu re­du­zie­ren (ein Schü­ler der Klas­se), um eine Be­rech­nung der Ein­zel­wahr­schein­lich­kei­ten mit­hil­fe der Pfad­re­gel zu er­mög­li­chen. So kön­nen die aus vor­her­ge­hen­den Un­ter­richts­ein­hei­ten be­kann­ten Mög­lich­kei­ten des Baum­dia­gramms ge­nutzt wer­den.

ÜB/HA

Wh.: Va­ria­ti­on der Durch­füh­rungs­an­zahl n und der Tref­fer­wahr­schein­lich­keit p.

5. u. 6. Stun­de

Die For­mel von Ber­noul­li

Werk­zeug

GTR, Ta­bel­le, Schau­bild

Ab­sicht/LZ

Im Mit­tel­punkt die­ser Stun­de steht die For­mel von Ber­noul­li. Die kon­kre­ten Vor­über­le­gun­gen ma­chen klar, dass die Wahr­schein­lich­kei­ten für die ein­zel­nen Pfade mit je­weils k Tref­fern gleich groß sind: . Die „re­chen­tech­ni­sche Schwie­rig­keit" be­steht nur noch darin, die An­zahl die­ser Pfade zu be­stim­men.

In­halt/
Pro­zess

Die Er­ar­bei­tung kann re­kur­siv mit Hilfe von Bei­spie­len am Pas­cal­schen Drei­eck er­ar­bei­tet wer­den. Das Ab­zäh­len der Pfade im Baum­dia­gramm ist für n > 5  nicht über­sicht­lich und daher wenig sinn­voll.  Die Schrit­te von 6 nach 7, 7 nach 8, ......, 19 nach 20, usw. wer­den nicht mehr ein­zeln durch­ge­führt, son­dern die Be­rech­nung der Wahr­schein­lich­kei­ten er­folgt über die ge­fun­de­ne „For­mel“ für die  Wahr­schein­lich­kei­ten  und wird dann dem GTR über­las­sen.

Er­geb­nis

Die For­mel von Ber­noul­li

Ma­te­ria­li­en

Stun­den­ent­wurf

UF / M / SA

-

Hin­weis

Im Zu­sam­men­hang mit dem Bi­no­mi­al­ko­ef­fi­zi­en­ten  ver­zich­ten wir auf ein­ge­hen­de­re Un­ter­su­chun­gen. Ein „Aus­flug“ in die Kom­bi­na­to­rik würde den Blick von der Sto­chas­tik und der Mo­dell­bil­dung weg len­ken.

ÜB/HA

Ar­beits­blatt mit Übungs­auf­ga­ben

7. – 9. Stun­de

Aus­wer­tung des Ex­pe­ri­men­tes „Cola-Ge­schmacks­test“

Werk­zeug

GTR

Ab­sicht/LZ

Am Bei­spiel des Cola-Ge­schmacks­test wird der Auf­bau eines Hy­po­the­sen­tests the­ma­ti­siert.

In­halt/
Pro­zess

Der Ver­gleich mit den „ge­fühls­mä­ßig“ fest­ge­leg­ten Ent­schei­dungs­kri­te­ri­en führt zu der beim Tes­ten von Hy­po­the­sen ent­schei­den­den Frage: Wann ist eine Klas­se bes­ser als eine „Nix-Schme­cker-Klas­se“?
Die Fest­le­gung eines „Schme­cker­be­rei­ches“ muss mit den Schü­le­rin­nen und Schü­lern er­ör­tert wer­den.
Es stellt sich die Frage, wie si­cher die­ser Be­reich ist:
Mit wel­cher Wahr­schein­lich­keit wird eine „Nix­schme­cker-Klas­se“ fälsch­li­cher­wei­se als „Schme­cker-Klas­se“ ein­ge­stuft?
Mit wel­cher Wahr­schein­lich­keit wird eine „Schme­cker-Klas­se“ fälsch­li­cher­wei­se als „Nix-Schme­cker-Klas­se“ be­trach­tet?
Feh­ler­be­rech­nun­gen in beide Rich­tun­gen soll­ten an­schlie­ßend durch­ge­führt wer­den.

Er­geb­nis

Die For­mel von Ber­noul­li er­mög­licht  eine quan­ti­fi­zier­ba­re Ent­schei­dung bei dem Ex­pe­ri­ment „Cola-Ge­schmacks­test“.

Ma­te­ria­li­en

Stun­den­ent­wurf

UF / M / SA

-

Hin­weis

Dis­kus­si­ons­be­darf:
die Fest­le­gung des „Schme­cker­be­rei­ches ist, eben­so wie die Fest­le­gung der Tref­fer­wahr­schein­lich­keit für eine „Schme­cker-Klas­se“, eine will­kür­li­che Ent­schei­dung.

ÜB/HA

Ar­beits­blatt