Das Pro­jekt

Das Pro­jekt: „Cola-Ge­schmacks­test“

1. und 2. Stun­de

Das Ex­pe­ri­ment
Wir wol­len fest­stel­len: Ist die Klas­se eine Cola-Schme­cker-Klas­se oder nicht?
Der be­vor­ste­hen­de Test wird aus­führ­lich er­läu­tert:
In vier Glä­ser wird zu­fäl­lig je­weils eine der Cola-Sor­ten Coca-Cola, Coca-Cola light und Pepsi Cola ge­füllt. Man kann die Cola-Sor­ten z. B. durch vier­ma­li­ges Wer­fen eines Wür­fels (1,2: Coca-Cola; 3,4: Coca-Cola light und 5,6: Pepsi Cola) auf die vier Glä­ser ver­tei­len.
Mög­li­che Ver­tei­lun­gen wer­den aus­führ­lich be­spro­chen.
Die Auf­ga­be der Schü­ler be­steht darin, nach dem Pro­bie­ren aus den vier Glä­sern jedem die rich­ti­ge Cola-Sorte zu­zu­ord­nen und auf einem vor­be­rei­te­ten Test­bo­gen ein­zu­tra­gen (kein Ver­gleichs­test!).
Wich­tig: Kom­men­ta­re beim Ex­pe­ri­ment be­ach­ten und spä­ter in Ge­spräch ein­brin­gen (keine Ah­nung ... Raten ...)
Die 26 (je nach Klas­sen­grö­ße) aus­ge­füll­ten, noch nicht aus­ge­wer­te­ten Test­bö­gen wer­den in einem ver­schlos­se­nen Um­schlag bis zur Aus­wer­tung am Ende des Pro­jekts auf­be­wahrt (Mo­ti­va­ti­on, emo­tio­na­le Bin­dung).

Grup­pen­ar­beit und Haus­auf­ga­be:
Wie wol­len wir aus­wer­ten?

In die­ser Phase soll den Schü­le­rin­nen und Schü­lern die Mög­lich­keit ge­ge­ben wer­den, die ent­schei­den­de Idee „Be­trach­tung einer „Nix-Schme­cker-Klas­se“ zu fin­den.
Man könn­te na­tür­lich im Ver­lauf der Stun­de ein­zel­nen Grup­pen hel­fen, muss es aber nicht.
(Wie kön­nen wir fest­stel­len, ob wir gute Schme­cker sind?
Was wäre die Al­ter­na­ti­ve?
Könn­ten un­se­re Er­geb­nis­se nicht auch durch Raten ganz zu­fäl­lig ent­stan­den sein?
Wo hört Raten auf, wo fängt schme­cken an? …)

Die ver­schie­de­nen Vor­schlä­ge zum wei­te­ren Vor­ge­hen wer­den im Ple­num dis­ku­tiert.
Soll­te bis­her eine „Nix-Schme­cker-Grup­pe“ als Ver­gleichs­mög­lich­keit nicht be­rück­sich­tigt wor­den sein, wird dies jetzt von der Lehr­kraft an­ge­regt.

Er­geb­nis:
Die Klas­se ver­gleicht mit einer „Nix-Schme­cker-Grup­pe“ und ei­nigt sich auf einen „Schme­cker­be­reich“.

Schät­zen der Ge­samt­an­zahl der Tref­fer bei „Schme­ckern“ und „Nix-Schme­ckern“ auf vor­be­rei­te­tem Ar­beits­blatt.

3. Stun­de

• Si­mu­la­ti­on einer Klas­se von 28 Nix-Schme­ckern.
  Ge­spräch über Fest­le­gung des Vor­ge­hens:
• Zu­nächst Ver­tei­lung der Co­las­or­ten auf die Glä­ser durch Wür­feln fest­le­gen.
  Da­nach 28 × 4 mal wür­feln, um den Ge­schmacks­test zu si­mu­lie­ren (GTR).
• Er­geb­nis­se der 14 (je zwei Schü­ler füh­ren eine Si­mu­la­ti­on durch) Si­mu­la­tio­nen sam­meln, mit Schätz­wer­ten ver­glei­chen und dis­ku­tie­ren.
  Wich­tig: Sam­meln ei­ge­ner Er­fah­run­gen über Zu­falls­schwan­kun­gen. Ver­gleich mit ei­ge­nen Er­war­tun­gen: Es kann sein, dass „Nix-Schme­cker“ ver­gleichs­wei­se gut ab­schnei­den (Vor­be­rei­ten des Be­griffs der Irr­tums­wahr­schein­lich­keit).

4. Stun­de

• Ar­beits­auf­trag
  Er­mitt­le die Ein­zel­wahr­schein­lich­kei­ten für 0, 1,....,4 Tref­fer.
  

Es ist sinn­voll, die An­zahl der Pro­ben auf 4 zu re­du­zie­ren, um eine Be­rech­nung der Ein­zel­wahr­schein­lich­kei­ten mit­hil­fe der Pfad­re­gel zu er­mög­li­chen, so dass die aus vor­her­ge­hen­den Bau­stei­nen be­kann­ten Mög­lich­kei­ten des Baum­dia­gramms ge­nutzt wer­den kön­nen.

Übung / Haus­auf­ga­be
Va­ria­ti­on der Tref­fer­wahr­schein­lich­keit
Va­ria­ti­on der Pro­ben­an­zahl (2, 3, 5)

5. und 6. Stun­de

• Be­spre­chung der Haus­auf­ga­be unter Be­rück­sich­ti­gung der As­pek­te:

  • Sys­te­ma­ti­sches Ab­zäh­len und Über­le­gen
  • Baum­dia­gramm, Pfad­re­geln
  • Aus­nut­zen von Sym­me­tri­en
  • Über­prü­fen der Er­geb­nis­se (z. B. ge­eig­ne­te Sum­men­bil­dung)
• Ver­all­ge­mei­ne­rung für n Pro­ben, For­mel der Bi­no­mi­al­ver­tei­lung:

Das Ab­zäh­l­er­geb­nis kann mit­hil­fe des Pas­cal­schen Drei­ecks ver­deut­licht wer­den:

Um bei 5 Ver­su­chen zwei Tref­fer zu er­hal­ten, gibt es zwei Mög­lich­kei­ten: Man hat bei 4 Ver­su­chen einen Tref­fer und dann einen wei­te­ren Tref­fer oder man hat bei 4 Ver­su­chen be­reits zwei Tref­fer und dann eine Niete. Auf diese Weise kann das re­kur­si­ve Vor­ge­hen am Pas­cal­schen Drei­eck er­ar­bei­tet und ver­deut­licht wer­den. Die Schrit­te von 5 nach 6, 6 nach 7, ......, usw.  wer­den nicht mehr ein­zeln durch­ge­führt, son­dern die Be­rech­nung der Wahr­schein­lich­kei­ten er­folgt über die nun „ge­fun­de­ne For­mel“  für die  Wahr­schein­lich­kei­ten  und wird dann dem GTR über­las­sen.

 wird ver­wen­det als Kurz­schreib­wei­se für die An­zahl der Pfade im Baum­dia­gramm, die bei n Pro­ben zu k Tref­fern füh­ren. Es wird dar­auf ver­zich­tet den Term exakt über Fa­kul­tä­ten zu de­fi­nie­ren.

• Übungs- und Haus­auf­ga­ben zu Bi­no­mi­al­ver­tei­lun­gen
• Ein­satz des GTR
  • Be­feh­le „pdfbin“, „cdfbin“
  • gra­fi­sche Dar­stel­lung (His­to­gramm)

7. bis 9. Stun­de

Auf­bau eines Hy­po­the­sen­tests:
Frage: Ist die Klas­se eine „Cola-Schme­cker-Klas­se“?
Die Hy­po­the­se „ Die Klas­se be­steht aus Nix-Schme­ckern“ soll wi­der­legt wer­den (Null­hy­po­the­se, Al­ter­na­tiv­hy­po­the­se).
Was leis­tet eine Nix-Schme­cker-Grup­pe?
Test­va­ria­ble X (: An­zahl der „Tref­fer“ ) ist bi­no­mi­al­ver­teilt mit n = 112 (28 mal 4) und p = .

.

Be­rech­nung ein­zel­ner Wahr­schein­lich­kei­ten mit dem GTR.
Wie groß ist die Wahr­schein­lich­keit, dass eine „Nix-Schme­cker-Klas­se“ in dem in der 2. Stun­de ver­ein­bar­ten „Schme­cker­be­reich“ liegt?

Fest­le­gen eines „neuen Schme­cker­be­rei­ches" (Ent­schei­dungs­re­gel).
Dis­kus­si­on: Der „Schme­cker­be­reich“ (Ab­leh­nungs­be­reich) kann nicht be­rech­net wer­den, son­dern muss in einer „will­kür­li­chen“ Ent­schei­dung fest­ge­legt wer­den.

Ge­spräch über die Un­si­cher­hei­ten:
Je klei­ner die Gren­ze, desto un­si­che­rer eine mög­li­che Ent­schei­dung zu­guns­ten der Schme­cker-Hy­po­the­se.
Maß für die Un­si­cher­heit? Irr­tums­wahr­schein­lich­keit. 
Be­rech­nung der Irr­tums­wahr­schein­lich­keit.

In­ter­pre­ta­ti­on der Irr­tums­wahr­schein­lich­keit

Aus­wer­tung des Ex­pe­ri­men­tes:
Der ver­schlos­se­ne Um­schlag wird ge­öff­net, die Test­bö­gen wer­den aus­ge­wer­tet.
Wie viele Tref­fer hat die Klas­se er­zielt?
Kann die Null­hy­po­the­se ab­ge­lehnt wer­den?
Dis­kus­si­on der Er­geb­nis­se

Dis­kus­si­on:
Mit wel­cher Wahr­schein­lich­keit wird eine „Nix­schme­cker-Klas­se“ fälsch­li­cher­wei­se als „Schme­cker-Klas­se“ ein­ge­stuft?
Die Tref­fer­wahr­schein­lich­keit für eine „Schme­cker-Klas­se“ ist eine will­kür­li­che Fest­le­gung.

Ar­beits­blatt:
Mit wel­cher Wahr­schein­lich­keit wird eine „Nix­schme­cker-Klas­se“ fälsch­li­cher­wei­se als „Schme­cker-Klas­se“ ein­ge­stuft?
Be­rech­nung für meh­re­re Tref­fer­wahr­schein­lich­kei­ten
Gra­fi­sche Dar­stel­lung
Be­rech­nung von Irr­tums­wahr­schein­lich­kei­ten bei vor­ge­ge­be­nem Ab­leh­nungs­be­reich.
Be­rech­nung von Ab­leh­nungs­be­rei­chen bei vor­ge­ge­be­nen Irr­tums­wahr­schein­lich­kei­ten.

Stun­den­ent­wurf: Her­un­ter­la­den [doc] [197 KB]

Stun­den­ent­wurf: Her­un­ter­la­den [pdf] [44 KB]