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Näherungsweises Lösen einer Differenzialgleichung

Infobox

Diese Seite ist Teil einer Materialiensammlung zum Bildungsplan 2004: Grundlagen der Kompetenzorientierung. Bitte beachten Sie, dass der Bildungsplan fortgeschrieben wurde.

Wir lösen eine Differenzialgleichung näherungsweise. Dazu lassen wir den Rechner schrittweise (t, I)-Wertepaare ausrechnen und in einer Tabelle und im Schaubild darstellen. Durch eine Näherung wird die Berechnung möglich. 1

Beispiel: Einschaltvorgang bei der Spule1 2

Differenzialgleichung für den Einschaltvorgang:

dI(t)/dt=U/L-R/L*I(t)

Übergang zur Differenzengleichung (Näherung für kleine Δt):

dI(t)/dt=(ΔI)/(Δt)

(ΔI)/(Δt)=U/L-R/L*I

Auflösen nach ΔI und Erstellen eines Programmalgorithmus:

  Programmalgorithmus 3
ΔI = (U/L - R/L⋅I)⋅Δt (U/L - R/L⋅I)⋅dt → dI
wegen ΔI = I neu  - I alt bzw. Δt = t neu  - t alt  
I neu  = I alt  + ΔI I + dI → I
t neu  = t alt  + Δt t + dt → t
Berechnung:
Variablen:  U = 9,0 V  R = 22 Ω  L = 17 mH
Startwerte:  t = 0 s  I = 0 A  Zeitschritt dt = 0,0001 s

Fülle folgende Tabelle aus:

Schritt Zeit
t = t + dt 		Änderung dI von I
dI = (U/L-R/L*I)*dt 		Stromstärke
I = I + dI
0      
1      
2      
3      

1 Die Angabe einer geschlossenen Lösung in algebraischer Form ist oft möglich, benötigt aber Hochschulmathematik, die wir nicht zur Verfügung haben. Computeralgebrasysteme wie MAPLE oder MATHEMATICA können so etwas auch.

2 Eine Spule mit der Induktivität L und dem Widerstand R wird zum Zeitpunkt t = 0 s an eine Quelle mit U angeschlossen.

3 Beim TI-83 dürfen Variablen nur einen Buchstaben haben. Deshalb bezeichnen wir dort die Stromstärkeänderung dI mit S und den Zeitschritt dt mit Z.

Download

Modellbildung mit dem TI-83 - Einschaltvorgang bei der Spule: Herunterladen [doc] [389 KB]

Modellbildungen Spule und Kondensator: Herunterladen [xls] [1,5 MB]

 

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