Nä­he­rungs­wei­ses Lösen einer Dif­fe­ren­zi­al­glei­chung

Wir lösen eine Dif­fe­ren­zi­al­glei­chung nä­he­rungs­wei­se. Dazu las­sen wir den Rech­ner schritt­wei­se (t, I)-Wer­te­paa­re aus­rech­nen und in einer Ta­bel­le und im Schau­bild dar­stel­len. Durch eine Nä­he­rung wird die Be­rech­nung mög­lich. ¹

Bei­spiel: Ein­schalt­vor­gang bei der Spu­le1 ²

Dif­fe­ren­zi­al­glei­chung für den Ein­schalt­vor­gang:

Über­gang zur Dif­fe­ren­zenglei­chung (Nä­he­rung für klei­ne Δt):

Auf­lö­sen nach ΔI und Er­stel­len eines Pro­gramm­al­go­rith­mus:

	Pro­gramm­al­go­rith­mus 3
ΔI = (U/L - R/L⋅I)⋅Δt	(U/L - R/L⋅I)⋅dt → dI
wegen ΔI = I neu  - I alt bzw. Δt = t neu  - t alt
I neu  = I alt  + ΔI	I + dI → I
t neu  = t alt  + Δt	t + dt → t

Be­rech­nung:

Va­ria­blen:	U = 9,0 V	R = 22 Ω	L = 17 mH
Start­wer­te:	t = 0 s	I = 0 A	Zeit­schritt dt = 0,0001 s

Fülle fol­gen­de Ta­bel­le aus:

Schritt	Zeit t = t + dt	Än­de­rung dI von I dI = (U/L-R/L*I)*dt	Strom­stär­ke I = I + dI
0
1
2
3

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¹ Die An­ga­be einer ge­schlos­se­nen Lö­sung in al­ge­brai­scher Form ist oft mög­lich, be­nö­tigt aber Hoch­schul­ma­the­ma­tik, die wir nicht zur Ver­fü­gung haben. Com­pu­teral­ge­bra­sys­te­me wie MAPLE oder MA­THE­MA­TI­CA kön­nen so etwas auch.

² Eine Spule mit der In­duk­ti­vi­tät L und dem Wi­der­stand R wird zum Zeit­punkt t = 0 s an eine Quel­le mit U an­ge­schlos­sen.

³ Beim TI-83 dür­fen Va­ria­blen nur einen Buch­sta­ben haben. Des­halb be­zeich­nen wir dort die Strom­stär­ke­än­de­rung dI mit S und den Zeit­schritt dt mit Z.

Down­load

Mo­dell­bil­dung mit dem TI-83 - Ein­schalt­vor­gang bei der Spule: Her­un­ter­la­den [doc] [389 KB]

Mo­dell­bil­dun­gen Spule und Kon­den­sa­tor: Her­un­ter­la­den [xls] [1,5 MB]

 

Wei­ter mit Er­gän­zen­des Ma­te­ri­al