Lö­sun­gen zur Wie­der­ho­lung

Auf­trä­ge:

1. THINK-PAIR-SHARE: LÖ­SUN­GEN auf AB (s.u.)

   a.) Um die Teil­bar­keit einer be­lie­bi­gen na­tür­li­chen Zahl durch die Zah­len 2, 3, 5, 6, 9 und 10 zu un­ter­su­chen, hast du be­reits Re­geln ken­nen ge­lernt. Ver­su­che dich zu­nächst in Stil­lar­beit an diese Re­geln zu er­in­nern und schrei­be alle, die du noch kennst, auf das dafür bei­ge­füg­te Ar­beits­blatt. Nach 5 Mi­nu­ten darfst du dich leise mit dei­nem Nach­barn aus­tau­schen und ihr könnt eure Re­geln ge­gen­sei­tig kor­ri­gie­ren und er­gän­zen.

   b.) Man un­ter­schei­det „End­stel­len­re­geln“ und „Quer­sum­men­re­geln“ . Ordne die Re­geln aus a.) wenn mög­lich einer der bei­den Ka­te­go­ri­en zu und be­grün­de deine Zu­ord­nung.

   Be­grün­dungs­bei­spiel: Die Regel „durch 2“ be­trach­tet nur die letz­te Zif­fer, die auch als End­stel­le be­zeich­net wird. Daher ist dies eine End­stel­len­re­gel.

AB Lö­sun­gen zu Auf­ga­be 1


 

AB Lö­sun­gen zu Auf­ga­be 1, Seite 2 von 11

2. a.) Un­ter­su­che mit­hil­fe der Re­geln die fol­gen­den Zah­len auf Teil­bar­keit durch die Zah­len

   

   Tei­ler von 60 sind 2, 3, 5, 6 und 10,

   Tei­ler von 123 456 sind 2, 3, 6

   Tei­ler von 654 321 ist 3

   Tei­ler von 65 433 456 sind 2, 3, 6 und 9

   b.) a und b sind frei wähl­ba­re Zif­fern (von 0 bis 9). Gib je­weils min­des­tens eine Mög­lich­keit für die Zif­fern a und b so an, dass die Zahl 125 a3b

   → durch 2 teil­bar ist:

   a kann jede Zif­fer sein (also 0 bis 9), b kann jede ge­ra­de Zif­fer sein, also 0, 2, 4, 6 oder 8.

   → durch 3 teil­bar ist:

   Die Quer­sum­me ist 11+a+b. Wenn die Summe a+b muss ge­teilt durch 3 den Rest 1 er­gibt, dann er­gänzt der Rest 1 die 11 in der Quer­sum­me zur 12. Da­durch ist die ge­sam­te Quer­sum­me durch 3 teil­bar. Mög­lich sind also die Kom­bi­na­tio­nen (dabei ist be­lie­big, wel­che Zif­fer je­weils a und wel­che b ist): 0 und 1, 0 und 4, 0 und 7, 1 und 3, 1 und 6, 1 und 9, 2 und 2, 2 und 5, 2 und 8, 3 und 4, 3 und 7, 4 und 6, 4 und 9, 5 und 5, 5 und 8, 6 und 7, 7 und 9, 8 und 8.

   → durch 6 teil­bar ist:

   alle Zif­fern, die durch 2 und durch 3 teil­ba­re Zah­len er­ge­ben, also nur die Kom­bi­na­tio­nen aus „durch 3 teil­bar“, bei denen b eine / die ge­ra­de Zahl der bei­den Mög­lich­kei­ten ist: 0 und 1, 0 und 4, 0 und 7, 1 und 6, 2 und 2, 2 und 5, 2 und 8, 3 und 4, 4 und 6, 4 und 9, 5 und 8, 6 und 7, 8 und 8.

   → durch 9 teil­bar ist:

   Die Quer­sum­me ist 11+a+b. Die Summe a+b muss somit ge­teilt durch 9 den Rest 7 er­ge­ben: 0 und 7, 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4, 7 und 9, 8 und 8

   → durch 5 und durch 3 teil­bar ist:

   alle Zif­fern, die durch 3 teil­ba­re Zah­len mit der End­zif­fer 5 oder 0 er­ge­ben. Es muss also b=5 oder b=0 sein. Ver­blei­ben die Kom­bi­na­tio­nen für a und b: 1 und 0; 4 und 0; 7 und 0; 5 und 2; 5 und 5; 8 und 5.

3. Die Zah­len a, b und t seien na­tür­li­che Zah­len. For­mu­lie­re zu­nächst ein paar kon­kre­te Zah­len­bei­spie­le für die fol­gen­den Sätze zur Teil­bar­keit. Be­grün­de die Sätze dann mit­hil­fe der (oben ste­hen­den) De­fi­ni­ti­on.

   Es lie­gen Hil­fe­kärt­chen be­reit, wenn du nicht wei­ter­kommst.

   

   zu 1a.)

   z.B. 12 + 16: 12 ist durch 4 teil­bar, 16 auch, 12 + 16 = 28 eben­falls.

   a ist durch t teil­bar, also a = k · t

   b ist durch t teil­bar, also b = g · t

   Somit ist a + b = k · t + g · t = (k + g) · t

   Da k + g eine na­tür­li­che Zahl ist, ist die De­fi­ni­ti­on „Teil­bar durch t“ für die Summe a + b er­füllt.

   zu 1b.)

   z.B. 12 ist durch 4 teil­bar, 7 nicht, 12 + 7 = 19 ist nicht durch 4 teil­bar.

   a ist durch t teil­bar, also a = k · t

   b ist nicht durch t teil­bar, also b = g · t + x, wobei 0 < x < t (x ist der Rest).

   a + b = k · t + g · t + x = (k + g) · t + x , bei Di­vi­si­on mit t er­gibt sich der Rest 0 < x < t, also ist a + b nicht durch t teil­bar.

   zu 2.)

   z.B. 12 ist durch 4 teil­bar, 7 nicht, 12 · 7 = 84 ist durch 4 teil­bar.

   a ist durch t teil­bar, also a = k · t

   b ist eine be­lie­bi­ge na­tür­li­che Zahl.

   a + b = k · t · b = (k · b) · t . Da k · b eine na­tür­li­che Zahl ist, ist die Teil­bar­keits­de­fi­ni­ti­on „durch t“ für das Pro­dukt er­füllt.

4. a.) Über­prü­fe ohne Ta­schen­rech­ner, ob die fol­gen­den Sum­men je­weils durch 3 teil­bar sind. Be­nen­ne und er­klä­re: In wel­chen Fäl­len nützt dir Satz 1 aus 3a.) etwas, wann nicht?

   

   Satz 1 kann dann nichts aus­sa­gen, wenn beide Sum­man­den nicht durch 3 teil­bar sind, also bei 7 + 5, 10 + 4, 10 + 5, 32 + 46 und 1 111 + 2 222.

   Durch 3 teil­bar sind: 7 + 5, 10 + 5, 33 + 45, 32 + 46, 346 776 + 943 662 und 1 111 + 2 222,

   die an­de­ren ent­spre­chend nicht.

   b.) Über­prü­fe, ob die fol­gen­den Pro­duk­te je­weils durch 9 teil­bar sind. Be­nen­ne und er­klä­re: In wel­chen Fäl­len nützt dir Satz 2 aus 3a.) etwas, wann nicht?

   

   Satz 2 nützt immer dann, wenn min­des­tens ein Fak­tor durch 9 teil­bar ist, also bei 27 · 17 und 621 · 18.

   So­bald beide Fak­to­ren nicht durch 9 teil­bar sind, kann das Pro­dukt nur dann­durch 9 teil­bar sein , wenn beide Fak­to­ren je­weils durch 3 teil­bar sind, wie bei 6 · 15 und bei 346776 · 943662. An­sons­ten nicht, wie bei 4 · 15. Dies wird aber durch Satz 2 nicht ab­ge­deckt.

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][394 KB]

Teil­bar­keit und Teil­bar­keits­re­geln – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][237 KB]

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