Beweis 1

Idee: Summe der Flächeninhalte der Teildreiecke betrachten

Datei: 03_geo_viviani_Beweis_I.ggb

Vor.: ABC ist ein gleichseitiges Dreieck, P ist ein Punkt im Innern oder auf dem Rand des Dreiecks ABC. Die Abstände von P zu den drei Seiten werden mit r, s, t bezeichnet, h ist die Höhe des Dreiecks.

z.z.: r + s + t = h

Für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks gilt , wobei

g = AB = BC = CA die Grundseite des Dreiecks ABC sein soll.

Die Summe der Flächen der farbig markierten Dreiecke ist so groß wie die Fläche des gleichseitigen Dreiecks. Es gilt daher:

Nach Division durch g und Multiplikation mit 2 folgt die Behauptung: r + s + t = h

Es ist daran gedacht, dass die SuS sich diesen einfachen Beweis im zweiten Teil der Stunde erarbeiten. Für jede Lerngruppe muss dabei individuell entschieden werden, ob und ggf. welche Tipps / Hilfen gegeben werden.

Um die Vielfalt geometrischer Argumentationsmöglichkeiten anzudeuten, lohnt es sich neben dem Beweis I weitere Beweise zu behandeln, evtl. auch ohne diese in voller formaler Strenge zu dokumentieren. Dafür stehen GeoGebra-Applets zur Verfügung.

Für einen arbeitsteiligen Zugang in starken Lerngruppen wurden aber auch die Beweis II und III mit aufgenommen, sie sind inhaltlich und methodisch flexibel einsetzbar. Entweder bringt man ausgewählte Anregungen im Unterricht nur kurz ein oder man nutzt eine weitere Stunde für den Exkurs zu einem oder beiden Beweisen.

Ein solcher Exkurs wird empfohlen, um den Abbildungsgedanken beim Beweisen angemessen zu berücksichtigen. Abbildungsgeometrische Beweise fristen in der Schule ein Schattendasein, seit die Abbildungsgeometrie mit dem Bildungsplan 2004 weiter zurückgedrängt wurde.

Durch den Einsatz von DGS, z.B. in Form der GeoGebra-Applets, kann dabei ein altersangemessener motivierender Zugang erfolgen. Die folgenden Beweise und die Visualisierung verwenden Verschiebungen und Drehungen und leiten damit idealerweise zu Arbeitsblatt 4 über, das in den Aufgaben 1 bis 3 einfache Beweise mit Drehungen enthält.

Satz von Viviani – Lösungen: Herunterladen [odt][414 KB]

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