Be­weis 1

Idee: Summe der Flä­chen­in­hal­te der Teil­d­rei­ecke be­trach­ten

Datei: 03_­geo_vi­via­ni_­Be­weis_I.ggb

Vor.: ABC ist ein gleich­sei­ti­ges Drei­eck, P ist ein Punkt im In­nern oder auf dem Rand des Drei­ecks ABC. Die Ab­stän­de von P zu den drei Sei­ten wer­den mit r, s, t be­zeich­net, h ist die Höhe des Drei­ecks.

z.z.: r + s + t = h

Für die Flä­che des gleich­sei­ti­gen Drei­ecks gilt , wobei

g = AB = BC = CA die Grund­sei­te des Drei­ecks ABC sein soll.

Die Summe der Flä­chen der far­big mar­kier­ten Drei­ecke ist so groß wie die Flä­che des gleich­sei­ti­gen Drei­ecks. Es gilt daher:

Nach Di­vi­si­on durch g und Mul­ti­pli­ka­ti­on mit 2 folgt die Be­haup­tung: r + s + t = h

Es ist daran ge­dacht, dass die SuS sich die­sen ein­fa­chen Be­weis im zwei­ten Teil der Stun­de er­ar­bei­ten. Für jede Lern­grup­pe muss dabei in­di­vi­du­ell ent­schie­den wer­den, ob und ggf. wel­che Tipps / Hil­fen ge­ge­ben wer­den.

Um die Viel­falt geo­me­tri­scher Ar­gu­men­ta­ti­ons­mög­lich­kei­ten an­zu­deu­ten, lohnt es sich neben dem Be­weis I wei­te­re Be­wei­se zu be­han­deln, evtl. auch ohne diese in vol­ler for­ma­ler Stren­ge zu do­ku­men­tie­ren. Dafür ste­hen Geo­Ge­bra-App­lets zur Ver­fü­gung.

Für einen ar­beits­tei­li­gen Zu­gang in star­ken Lern­grup­pen wur­den aber auch die Be­weis II und III mit auf­ge­nom­men, sie sind in­halt­lich und me­tho­disch fle­xi­bel ein­setz­bar. Ent­we­der bringt man aus­ge­wähl­te An­re­gun­gen im Un­ter­richt nur kurz ein oder man nutzt eine wei­te­re Stun­de für den Ex­kurs zu einem oder bei­den Be­wei­sen.

Ein sol­cher Ex­kurs wird emp­foh­len, um den Ab­bil­dungs­ge­dan­ken beim Be­wei­sen an­ge­mes­sen zu be­rück­sich­ti­gen. Ab­bil­dungs­geo­me­tri­sche Be­wei­se fris­ten in der Schu­le ein Schat­ten­da­sein, seit die Ab­bil­dungs­geo­me­trie mit dem Bil­dungs­plan 2004 wei­ter zu­rück­ge­drängt wurde.

Durch den Ein­satz von DGS, z.B. in Form der Geo­Ge­bra-App­lets, kann dabei ein al­ters­an­ge­mes­se­ner mo­ti­vie­ren­der Zu­gang er­fol­gen. Die fol­gen­den Be­wei­se und die Vi­sua­li­sie­rung ver­wen­den Ver­schie­bun­gen und Dre­hun­gen und lei­ten damit idea­ler­wei­se zu Ar­beits­blatt 4 über, das in den Auf­ga­ben 1 bis 3 ein­fa­che Be­wei­se mit Dre­hun­gen ent­hält.

Satz von Vi­via­ni – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [odt][414 KB]

Satz von Vi­via­ni – Lö­sun­gen: Her­un­ter­la­den [pdf][280 KB]

Wei­ter zu Be­weis 2